Производная функции

1.

??????????? ???????

2.

??????????? ???????
Пусть функция y=f(x) определена в точках x и x0. 
Разность (x ­ x0) называют приращением аргумента и 
обозначают Δx;
Разность f(x)-f(x0) называют приращением функции и 
обозначают Δy или Δf.
Δx= x ­ x0 => x=x0+ Δx,
Δf= f(x)-f(x0) => Δf= f(x0+ Δx) -f(x0).

3.

?????? ? ?????????? ????????? ?????????????? ????????
Пусть по прямой движется точка по закону S=S(t) [S(t) – положение 
точки на прямойв момент времени t].
M
S
0
S (t 2 ) S (t1 )
Средняя скорость за промежуток времени от      до      :
t1
t 2 ср
t 2 t1
Полагая  t1
t0 , t 2 t0 t , получим :
S (t0 t ) S (t0 ) S
ср
t0 t t0
t
Мгновенной скоростью в момент времени t называют предел средней 
t0 , t0 t
скорости движения за промежуток времени 
при Δt→0.
мгн
S
lim
t 0 t
1

4.

?????? ? ?????????? ??????????? ? ??????? ???????
                               Касательной к графику функции y=f(x) 
в точке М называется предельное положение 
секущей МN, когда точка N стремится к точке M по 
кривой.
M 0 ( x0 , y0 ),
N ( x0 x, y0 y) y f ( x)
­угол наклона секущей MN
y
tg
x
кас lim tg lim tg
N M
x 0

5.

?????? ? ?????????? ??????????? ? ??????? ???????
( x)
ОХ.
кас
­угол наклона касательной к оси 
y
tg ( x) lim tg lim
x 0
x 0 x
y f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 x) f ( x0 )
k кас lim
x 0
x
Так как,
2
Мы определили угловой коэффициент 
касательной, как приращение ординаты к 
приращению абсциссы, когда последнее стремится 
к 0.

6.

 Производной функции y=f(x) в точке x0 называется 
предел отношения приращения функции в этой 
точке к приращению аргумента при Δx →0  (если 
этот предел существует).
dy
Обозначается:                       (Лагранж),        
y ( x0 ), f ( x0 )
(Лейбниц)
dx
    
f ( x0 x) f ( x0 )
dy
f
y f ( x)
dx
lim
x 0
x
lim
x 0
x

7.

???????????? ????? ???????????
Из
мгн
S
lim
t 0 t
и используя определение производной, 
S ds
ds
можем записать: lim
t 0 t
dt
dt
Таким образом, производная от пути по времени 
есть мгновенная скорость.

8.

?????????????? ????? ???????????
Из
k кас
y
lim
x 0 x
и используя определение производной, 
у dу
dу
к кас
можем записать: lim
х 0 х
dх
dх
Таким образом, производная от ординаты кривой по 
абсциссе есть угловой коэффициент касательной к 
этой кривой.

9.

???????? ???????
Подготовить таблицу производных 
основных элементарных функций  

10.

????? ??????? ?????????????????
1.(u v) u v
2.(сu ) c(u )
3.(uv) u v uv
u
u v uv
4.( )
2
v
v

11.

????????????????? ??????? ???????
Правило: Производная сложной функции по 
основному аргументу равна произведению 
производной этой функции по промежуточному 
аргументу на производную промежуточного 
аргумента по основному.
dy
du
f (u )
dx
dx
u ( x )
y sin( x 2 )
u sin u , u x 2
dy
(sin( x 2 )) cos u 2 x 2 x cos( x 2 )
dx