Решение логарифмических уравнений (10 класс)

1.

Решение логарифмических
уравнений

2.

loga b=Х
х
а =b

3. Основное логарифмическое тождество:

a
loga b
b

4.

log a a 1 log a 1 0
log a a c
c

5. Свойства логарифмов:

a>0,b>0,c>0, c≠1,n≠1
log c a log c b log c ( ab)
a
log c a log c b logc
b
n log c a log a
c
n

6. Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:

Ответ :
3
а)2 8
а)3 log 2 8
б )3 1
б )0 log 3 1
1
2
в )4
16
1
в) 2 log 4
16
0

7. Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:

Ответ:
а) 4 = a )4 log 2 16
б) - 2 = б ) 2 log 1
2
4
в) 0 =
в
)
0
log
1
2
г) 1 =
г )1 log 2 2

8.

Вычислите:
log 6 8 log 6 2 log 6 9
Ответ: 2

9.

Определение:
Уравнение, содержащее
переменную под знаком
логарифма, называется
логарифмическим
log x b
a
a 0 , a 1

10.

Основные методы решения
логарифмических уравнений:

11.

с помощью
определения
логарифма
введение новой
переменной
потенцирования
вынесение
общего
множителя
логарифмирования
приведение
к одному
основанию
функциональнографический

12.

1. По определению логарифма:
Пример:
f ( x ) 0, a 0, a 1.
log 4 x 2,
ОДЗ : х 0,
x 4 ,
2
x 16.
Ответ: 16

13.

Пример :
log 3 (2 x 1) 2,
2x 1 3 ,
2
2 x 1 9,
x 4.
Проверка:
log 3 (2 4 1) 2,
log 3 9 2,
2 2
Ответ: 4

14.

log 2 x 1
Ответ: х=2

15. Решите логарифмические уравнения:

log x 5 2
x 5
2
x 5 , т.к. 5 0
Ответ : x 5
log 4 x 0,5
0 .5
x 4
х 4
x 2
Ответ : x 2

16.

2. Метод потенцирования:
Под потенцированием понимается переход от
равенства, содержащего логарифмы, к равенству,
не содержащему их:
если , loga f(х) = loga g(х),
то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а≠ 1
Метод потенцирования применяется в том случае,
если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют
одинаковое основание

17.

Пример:
log 2 ( x 2 7 x 5) log 2 (4 x 1),
x 2 7 x 5 4 x 1,
x 2 3x 4 0,
x1 1, x2 4.
переходим от равенства, содержащего
логарифмы, к равенству,
не содержащему их
Проверка:
x 1 log 2 (12 7 1 5) log 2 (4 1 1) log 2 3 log 2 3 - верно
2
x 4 log 2 (( 4) 7 ( 4) 5) log 2 (4 ( 4) 1) log 2 ( 17) log 2 ( 17)
- не верно
Ответ: 1

18. решить

1
4
lg 2 x lg x 15
4
Ответ: корней нет

19. Решите уравнения потенцированием:

а) log2 (3x – 6) = log2 (2x – 3);

20. Метод потенцирования:

Признак:
1. Пропотенцировать обе
части уравнения по
уравнение должно
основанию равному
быть представлено в виде
основанию логарифма;
равенства двух логарифмов
2. Перейти к равенству
по одному основанию
подлогарифмических
выражений, применив
log a f x log a g x
свойство логарифма;
3. Решить уравнение и
проверить
полученные корни;
4. Записать
удовлетворяющие
корни в ответ.

21. 3. Метод вынесения общего множителя:

Стр.258, задача 5

22.

4. Метод введения новой переменной:
Пример:
log 32 x log 3 x 2
ОДЗ:
Пусть
log 3 x t ,
x 0.
тогда
t 2 t 2,
t 2 t 2 0.
t1 1, t2 2.
Значит,
log 3 x 1
или
log 3 x 2
x 3 1
x 32
1
x .
3
x 9.
1
Ответ: , 9.
3

23. Стр. 258, задача 6

24.

Решите уравнения:
lg x 2 lg x 1 0
2
3 log 0 , 5 x 5 log0 , 5 x 2 0
2

25. Метод введения новой переменной:

Признак:
Все логарифмы
в уравнении могут быть
сведены к одному и тому же
логарифму, содержащему
переменную
1. Определить ОДЗ уравнения
(подлогарифмические
выражения положительны);
2. Произвести замену
переменной;
3. Решить полученное
уравнение;
4. Составить простейшие
логарифмические уравнения,
возвращаясь к
первоначальной переменной;
5. Проверить полученные корни
по ОДЗ;
6. Записать удовлетворяющие
ОДЗ корни в ответ.

26. 5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения:

1.
Признак:
переменная
содержится и в основании
степени, и в показателе
2.
степени под знаком
логарифма
Xlgx+2 = 1000
3.
4.
Определить ОДЗ
уравнения
(подлогарифмические
выражения
положительны);
Прологарифмировать
обе части уравнения по
основанию равному
основанию логарифма в
показателе степени;
Вынести показатель
степени за знак
логарифма, пользуясь
свойством логарифма;
Решить полученное
уравнение, пользуясь
методом замены
переменной.

27.

Xlgx+2 = 1000
1)ОДЗ: Х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
lgxlgx+2 = lg1000

28.

Xlgx+2 = 1000
1)ОДЗ: Х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
lgxlgx+2 = lg1000
( lgx+2)·lgx=lg1000
lg2x+ 2lgx- 3=0
lgx=а
а2 + 2а- 3=0

29.

Xlgx+2 = 1000
1)ОДЗ: Х>0
2) Т. к. обе части уравнения положительны, то
прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
lgxlgx+2 = lg1000
( lgx+2)·lgx=lg1000
lg2x+ 2lgx- 3=0
lgx=а
а2 + 2а- 3=0
а=- 3 а=1.
lgx=1,
x=10
lgx=- 3,
x=10-3=0,001
Ответ: 0,001; 10.

30.

6. Метод приведения логарифмов к
одному и тому же основанию:
Стр.258 задача 8

31.

32.

7. Функционально-графический метод:
Решите уравнение:
log 5 x 0
y
Ответ: х = 1
1
-1
0
1
x

33.

Самостоятельно:
Решите уравнение:
log 2 x 0
5
Ответ: х = 1
у
х

34.

Решите графически уравнения:
а) lg x = 1 – x;
б) log1/3 x = x – 4;
в) log2 x = 3 – x.

35.

а) lg x = 1 – x
y = lg x
y=1-x
Ответ: х = 1

36.

б) log1/3 x = x – 4
y=x-4
y = log1/3 x
Ответ: х = 3

37.

в) log2 x = 3 – x
y = log2 x
y=3–x
Ответ: х = 2

38.

Этапы решения уравнения:
1. Найти область допустимых
значений (ОДЗ) переменной
2. Решить уравнение, выбрав метод
решения
3. Проверить найденные корни
непосредственной
подстановкой
в исходное уравнение или выяснить,
удовлетворяют ли они условиям ОДЗ