Паралельне проектування та його властивості. Зображення просторових фігур на площині. 10 клас

1.

Геометрія,
10 клас.

2.

Мета уроку.
Навчальна:
познайомити
учнів
із
властивостями паралельного проектування,
формувати вміння застосовувати паралельне
проектування для зображення просторових
фігур.
Розвивальна: розвивати просторове уявлення,
увагу, акуратність та скрупульозність при
виконанні технічного рисунка.
Виховна: показати широке коло застосування
властивостей паралельного проектування у
навколишньому світі.

3.

• У стереометрії вивчаються
просторові фігури, проте
на кресленні вони
зображуються у вигляді
плоских фігур. Яким же
чином слід зображувати
просторову фігуру на
площині? Зазвичай в
геометрії для цього
використовується
паралельне проектування
просторової фігури на
площину.

4.

Виберемо у просторі довільну площину (площину проекцій)
І будь-яку пряму a, яка переринає
(вона задає напрям паралельного проектування)
а
А

5.

Проведемо через точку А пряму, паралельну прямій а.
Точка А’ перетину цієї прямої з площиною і є проекція точки А
на площину . Якщо А , то А’ збігається з А.
а
А
А’

6. Ррозглядаючи геометричну фігуру як множину точок, можна побудувати в заданій площині проекцію заданої фігури. Таким чином

отримаємо
зображення (або «проекцію») просторової фігури на площині
а

7.

Зауваження 1. При паралельному проектуванні не обирають
напрям паралельного проектування паралельно площині
проекції
а
А

8.

Зауваження 2. При паралельному проектуванні плоских фігур не
обирають напрям паралельного проектування паралельно площині,
якій належить ця плоска фігура, т.як. проекція не отображає
властивості заданої плоскої фігури.
B
а
А
C
B’
C’
А’

9.

Зауваження 3. Якщо напрям паралельного проектування
перпендикулярний площині проекцій, то таке паралельне
проектування називається ортогональним проектуванням.
B
а
А
C
А’
C’
B’

10.

Зауваження 4. Якщо площина проекцій і площина, в якій лежить
задана фігура паралельні ( ||(АВС)), то зображення фігури…
…дорівнює самій фігурі.
а
B
А
C
B’
А’
C’

11.

1) паралельність прямих (відрізків, промінів) зберігається;
B
а
D
A
C
B’
D’
A’
C’
АВ||CD А’B’||C’D’

12.

1) паралельність прямих (відрізків, промінів) зберігається;
2) відношення довжин відрізків, які лежать на паралельних або на
одній прямій зберігаються;
B
а
М
D
A
C
М’
B’
D’
A’
C’
Якщо, наприклад, АВ=2CD, то А’В’=2C’D’ або
AM
A' M '
MB M ' B'

13.

1) паралельність прямих (відрізків, промінів) зберігається;
2) відношення довжин відрізків, які лежать на паралельних або на одній
прямій зберігаються;
3) Лінійні розміри плоскіх фігур не зберігаються
а
B
C
A
C’
A’
B’

14. Основні властивості паралельного проектування

Паралельною проекцією точки є точка.
Паралельною проекцією прямої є пряма.
Проекції паралельних прямих паралельні між собою або
збігаються, якщо дані прямі лежать у площині,
паралельні напрямку проектування.
Якщо відрізки лежать на одній прямій або на
паралельних прямих, то відношення їх проекцій дорівнює
відношенню самих відрізків.

15. Властивості фігур під час паралельного проектування

ЗБЕРІГАЮТЬС Я
1) Належність фігури до свого
класу фігур (точку зображають
точкою, відрізок – відрізком,
трикутник – трикутником
тощо;
2) Належність точок прямій;
3) Порядок розміщення точок
на прямій (внутрішню точку
відрізка зображають
внутрішньою точкою його
проекції);
4) Паралельність прямих;
5) Рівність (пропорційність)
відрізків, що лежать на
паралельних прямих або
на одній прямій.
НЕ ЗБЕРІГАЮТЬСЯ
1) Довжина відрізка;
2) Міра кута (зокрема прямий
кут зображають довільним
кутом);
3) Перпендикулярність прямих;
4) Рівність (пропорційність)
кутів;
5) Рівність (пропорційність)
відрізків, які лежать на
прямих, що перетинаються.

16.

Побудуємо зображення куба:

17.

Фігура у просторі
її зображення на площині
Довільний трикутник
Довільний трикутник
Прямокутниий трикутник
Довільний трикутник
Рівнобедрений трикутник
Довільний трикутник

18.

Фігура у просторі
Рівносторонній трикутник
її зображення на площині
Довільний трикутник
Паралелограм
Довільний паралелограм
Прямокутник
Довільний паралелограм

19.

Фігура у просторі
Квадрат
Ромб
Трапеція
її зображення на площині
Довільний паралелограм
Довільний паралелограм
Довільна трапеція

20.

Фігура у просторі
її зображення на площині
Рівнобічна трапеція
Довільна трапеція
Прямокутна трапеція
Довільна трапеція
Круг (коло)
Овал (эліпс)

21.

Як побудувати паралельну проекцію
плоскої фігури
Щоб побудувати паралельну проекцію
плоскої фігури, спочатку побудуйте її
оригінал. Потім, спираючись на оригінал,
виділіть властивості фігури:
• які збігаються під час паралельного
проектування (на них треба спиратися);
• які не збігаються під час паралельного
проектування (їх не
можна використовувати)

22. Вправи

1. У якому випадку паралельної проекцією відрізка буде точка?
Відповідь: Якщо пряма паралельна напрямку проектування.
2. У якому випадку паралельної проекцією двох паралельних
прямих є одна пряма?
Відповідь: Якщо площина, в якій лежать ці прямі, паралельна
напрямку проектування.
3. Які фігури можуть бути паралельними проекціями двох
мимобіжних прямих?
Відповідь: Дві прямі що перетинаються; дві паралельні прямі;
пряма і точка, що їй не належить.

23.

4. Чи зберіжеться при паралельному проектуванні:
а) довжина відрізка 30 см ; б) величина кута 900?
Відповідь: а), б) Ні.
5. Чи вірно, що якщо довжина відрізка дорівнює довжині його
паралельної проекції, то відрізок паралельний площині
проектування?
Відповідь: Ні.
• 6. Чи може паралельної проекцією прямокутного трикутника бути: а)
прямокутний трикутник; б) рівнобедрений трикутник, в)
різносторонній трикутник?
Відповідь: а), б), в) Так.
• 7. Чи може паралельною проекцією прямокутника бути: а) квадрат;
б) паралелограм, в) ромб; г) трапеція?
Відповідь: а), б), в) Так; г) ні.