Системы массового обслуживания с ожиданием

1. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ

1. Показатели эффективности СМО с ожиданием.
2. Одноканальная система с неограниченной
очередью.
3. Многоканальная система с неограниченной
очередью.
4. Система массового обслуживания с
ограниченной очередью.
5. Система массового обслуживания с
ограниченным временем ожидания.

2. 1. Показатели эффективности СМО с ожиданием.

Заявка, поступившая в систему и
нашедшая все каналы занятыми,
становится в очередь, ожидая
освобождение одного из каналов (СМО с
неограниченной очередью) в случае
ограничения очереди покидает систему
необслуженной.

3. Показатели эффективности СМО с ожиданием

А - абсолютная пропускная способность СМО, т.е.
среднее число заявок, обслуживаемых в единицу
времени;
Q - относительная пропускная способность СМО,
т.е. средняя доля пришедших заявок,
обслуживаемых системой;
P0 - вероятность простоя каналов обслуживания,
когда нет заявок;

4.

Pk - вероятность занятости обслуживанием k
каналов;
Pотк - вероятность отказа, т.е. вероятность того,
что заявка покинет СМО не обслуженной;
Pобс - вероятность обслуживания;
Pоч - вероятность того, что заявка окажется в
очереди;

5.

k - среднее число занятых обслуживанием
каналов;
Lсист - среднее число заявок в системе;
Т сист - среднее время пребывания заявки в системе;
Lоч
- среднее число заявок в очереди (длина
очереди);
Т оч - среднее время ожидания заявки в очереди.

6. 2. Одноканальная система с неограниченной очередью.

Имеется одноканальная СМО с очередью, на
которую не наложены никакие ограничения (ни
по длине очереди, но по времени ожидания).
Поток заявок, поступающих в СМО, имеет
интенсивность , а поток обслуживаний –
интенсивность .

7.

Доказано, что если 1 , т.е. среднее
число приходящих заявок меньше
среднего числа обслуженных заявок (в
единицу времени), то искомые
показатели эффективности существуют.
Если 1 , очередь растет до
бесконечности.

8.

Для систем с неограниченной очередью характерно
Pотк. 0 , Pобс. 1
Q 1
A

9.

P0 1 - вероятность простоя каналов
обслуживания, когда нет заявок;
P1 P0
- вероятность занятости канала
обслуживанием;
Pоч
2
1
P0 - вероятность того, что заявка
окажется в очереди;
Lсист
1 - среднее число заявок в
системе;

10.

2
Lоч
- среднее число заявок в
1
очереди (длина очереди);
Т оч
Lоч
2
1 - среднее время ожидание
заявки в очереди;
Т сист
1 - среднее время пребывания
заявки в системе;
k
- среднее число занятых
обслуживанием каналов.

11. 3. Многоканальная система с неограниченной очередью.

Имеется n-канальная СМО с неограниченной
очередью. Поток заявок, поступающих в СМО
имеет интенсивность , а поток обслуживаний
– интенсивность .
При
1 искомые показатели существуют.
Если
n
n
1 , очередь растет до бесконечности.

12.

1
P0 1
2!
n! n! n
n 1
1
n
n! n
i
i!
2
n
n 1
i 0
вероятность простоя каналов, когда нет заявок;

13.

Pk
k
P0 - вероятность занятости
k!
обслуживанием k каналов;
Pn
n
P0
- вероятность занятости
обслуживанием всех каналов;
n!
n 1
Pоч
P0 - вероятность того, что
n! n
заявка окажется в очереди;

14.

Lоч
n 1
n 1 ! n
P0
- среднее число заявок в
очереди (длина очереди);
2
Lсист Lоч - среднее число заявок в системе;
Т сист
1 - среднее время пребывания
заявки в системе;
Т оч
Lоч
- среднее время ожидание заявки в
очереди;
k
каналов.
- среднее число занятых обслуживанием

15. 4. Система массового обслуживания с ограниченной очередью.

СМО с ограниченной очередью отличаются от
рассмотренных выше задач лишь тем, что число
заявок в очереди ограничено (не может
превосходить некоторого заданного m). Если
новая заявка поступает в момент, когда все
места в очереди заняты, она покидает СМО
необслуженной, т.е. получает отказ.

16.

Ограничения на длину очереди могут быть из-за:
1) ограничения сверху времени пребывания заявки в
очереди;
2) ограничения сверху длину очереди;
3) ограничения общего времени пребывания заявки
в системе.

17. 5. Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания.

На практике часто встречается СМО с так
называемыми «нетерпеливыми»
заявками. Такие заявки могут уйти из
очереди, если время ожидания
превышает некоторую величину.

18.

В частности, такого рода заявки возникают в
различных технологических системах, в
которых задержка с началом обслуживания
может привести к потери качества продукции,
в системах оперативного управления, когда
срочные сообщения теряют ценности (или
даже смысл), если они не поступают на
обслуживание в течение определенного
времени.