Метод удвоения медианы

1.

Геометрия
8 класс
Тема: Метод удвоения медианы.

2.

Сегодня мы познакомимся с методом
удвоения медианы, узнаем определение
центральной симметрии.

3.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена медиана BM.
В
А
М
С

4.

Удвоим эту медиану, т.е. проведем отрезок MD: MD=BM.
В
А
М
D
С

5.

Получили параллелограмм ABCD (по признаку: диагонали делятся
точкой пересечения пополам).
В
А
М
С
D
В ряде задач с этим параллелограммом очень удобно
работать.

6.

Теорема: Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то
этот треугольник равнобедренный.
В
А
М
Доказательство:
Рассмотрим треугольник ABC, в котором
проведена медиана BM, которая совпадает с
высотой. Продлим медиану: MD=BM.
Четырехугольник ABCD – параллелограмм
(AM=MC, т.к. BM – медиана, BM=MD (по
С построению)).
С другой стороны, у него перпендикулярны
диагонали. => ABCD – ромб => AB=BC, т.е.
треугольник ABC – равнобедренный. Что и
требовалось доказать.
D

7.

Теорема: Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине его
гипотенузы.
В
А
Доказательство:
С
M
Удвоив медиану ВМ, продлив её за точку М.
АВСD – параллелограмм (по признаку).
C другой стороны, в этом параллелограмме ∠В = 90°,
следовательно АВСD – прямоугольник.
Значит СМ = АМ = ВМ = МD.
1
ВМ = АС.
2
D

8.

Решим задачу 1: Дан треугольник ABC, в котором сторона AB равна 10,
сторона AC=16, а медиана AM=5. Найти площадь треугольника ABC.
Решение:
При удвоении медианы получаем точку D:
AD=2AM=10.
Получили параллелограмм BACD, в котором нам известны стороны
AB=CD=10, AC=BD=16.

9.

Продолжение решения задачи 1
Рассмотрим треугольник BAD. В этом треугольнике мы
знаем все 3 стороны: 10, 10, 16.
Получился равнобедренный треугольник.
Проведём высоту АН. По теореме Пифагора АН = 6.
1
1
SBAD = · BD · AH = · 16 · 6 = 48.
2
2
SABCD = 2· SABD = 2· SABC
SABC = SABD = 48.

10.

Cделаем вывод:
Если в задаче дана медиана, то очень часто полезно ее удвоить, чтобы
свести задачу к параллелограмму, ромбу или прямоугольнику, с
помощью чего можно решать ряд задач.

11.

Задачи для 1-й домашней работы:
1. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.
Найдите площадь треугольника.
2. Медиана треугольника образует с его сторонами, выходящими из той же вершины, углы 40° и 70°.
Докажите, что эта медиана равна половине одной из них.
3. В треугольнике ABC проведена медиана BM . Найдите ∠ АBC, если ∠ BAC = 30°, а ∠BMC =45°.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M — середина стороны AD.

12.

Геометрия
8 класс
Тема: Центральная симметрия.

13.

Центральная симметрия
Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:
Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.
На картинках центральная симметрия: точка O здесь — центр симметрии.
Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду.
Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

14.

Давайте разберемся, как построить центральную
симметрию и рассмотрим алгоритм построения
фигур с центральной симметрией.

15.

Пример 1: Постройте треугольник A1B1C1 , симметричный
треугольнику ABC, относительно центра (точки О).
АЛГОРИТМ ДЕЙСТВИЙ
1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые
на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им
отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A1B1 A1C1
B1C1.
4. Получаем треугольник A1B1C1, симметричный
треугольнику ABC, относительно центра.

16.

Пример 2: Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку
AB относительно центра (точки О).
АЛГОРИТМ ДЕЙСТВИЙ
1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки
А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим
ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим
ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А1О и
B1О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A1 и B1 и получаем отрезок A1B1,
симметричный данному.

17.

Второй урок
1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота,
проведённая к ней, равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15º.
2. Известно, что ∠ BMC = 90◦. Найдите угол между диагоналями
четырёхугольника ABCD.
3. Постройте фигуры, симметричные данным относительно точки О.

18.

Постройте фигуры, симметричные данным
относительно точки О.

19.

Домашнее задание
1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота,
проведённая к ней, равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15º.
2. Известно, что ∠ BMC = 90◦. Найдите угол между диагоналями
четырёхугольника ABCD.
3. Постройте фигуры, симметричные данным относительно точки О.

20.

Постройте фигуры, симметричные данным
относительно точки О.

21.

Использованные источники:
https://multiurok.ru/files/praktichieskaia-rabota-po-tiemie-tsientral-naia-i-.html
https://yandex.ru/video/preview/10270951172070887587
https://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursageometrii-za-79-klassy/udvoenie-mediany
https://skysmart.ru/articles/mathematic/osevaya-i-centralnaya-simmetriya
https://drive.google.com/drive/folders/1xIzzlOUxFTs7161-IwoKiUdl5R9fsECT