Анализ элементов и систем автоматики

1.

2. Лекция 15 Анализ элементов и систем автоматики

1.Способы соединения элементов САР.
2. Устойчивость САР.
3. Качество процесса регулирования

3.

Цель лекции: Ознакомиться с основными
видами соединений типовых звеньев систем
автоматики и методами анализа
устойчивости САР.
Литература
Богданович П. Ф. Автоматика, автоматизация и АСУТП:
курс лекций.-– Гродно : ГГАУ, 2009 . -128 с.
Стр. 68 - 77.

4.

5. 1.Способы соединения элементов САР

6.

При решении задач анализа САР ее удобно
представлять в виде структурной схемы
(структурной динамической схемы), которая
является графическим отображением
математической модели системы.
Отдельные звенья на такой схеме условно
обозначают в виде прямоугольников, внутри
которых записывают выражения передаточной
функции. Входные и выходные сигналы для
каждого звена выражают в определенной форме,
т.е. в виде изображений X(P) и Y(P).
Основными видами соединений звеньев являются:
последовательное, параллельное и соединение с
обратной связью (встречно- параллельное).

7.

Последовательное соединение
динамических звеньев

8.

Аналогия – цепь!
Цепь - это соединение, состоящее из
последовательно соединённых между собой
одинаковых подвижных звеньев.

9. Параллельное соединение динамических звеньев

10. Соединение с обратной связью

В выражении для передаточной функции всего
соединения знак «+» ставится при ООС, а знак «-»
соответствует ПОС.

11.

Произведение К2(р)·К1(р), входящее в
формулу К(р), называется
передаточной функцией разомкнутой
системы
и обозначается как Краз(р), т.е.
Краз(р)=К2(р)·К1(р).
Входящая в это выражение функция К1(р)
называется передаточной функцией прямой
цепи.

12.

13. 2. Устойчивость САР

14.

Автоколеба́ния — незатухающие колебания в
динамической системе с нелинейной
обратной связью, поддерживающиеся за счёт
энергии постоянного, то есть
непериодического внешнего воздействия.
Электрозвонок

15.

Разрушение Тэкомского моста (США,
штат Вашингтон) 7 ноября 1940 года
вследствие автоколебаний, возникших под
действием ветра.

16.

Автоколебания могут возникать в
системах с обратной связью, которые
не обладают таким качеством как
устойчивость.

17.

Существуют различные методы
определения устойчивости систем с
обратной связью (путем их анализа).
Рассмотрим три метода:
-классический метод;
-метод алгебраического критерия;
-метод критерия Найквиста.

18.

В условии задачи анализа задаются
входное воздействие x(t) и САР (её
схема и параметры элементов).
Неизвестным является реакция - y(t).

19.

Классический метод анализа САР
Для линейной системы связь между
входным воздействием х(t) и выходной величиной
y(t) описывается линейным дифференциальным
уравнением (ЛДУ) n-ого порядка:
a0y(n)(t) + a1y(n-1)(t)+…+ an-1y′(t)+any(t) =
= b0x(m)(t)+b1x(m-1)(t) + … + bm-1x′(t)+bmx(t),
где a0…an - коэффициенты, характеризующие
параметры системы; b0…bm – коэффициенты,
определяющие параметры входного воздействия,
(причем m ≤ n).

20.

Устойчивость системы определяется ее
поведением после прекращения входного
воздействия, т.е. когда x(t)=0. В этом случае
ЛДУ системы будет иметь вид:
a0y(n)(t) + a1y(n-1)(t)+…+ an-1y′(t)+any(t) = 0.
Решение этого уравнения – свободная
составляющая, характеризующая
переходный процесс. Она будет иметь вид:
n
y c (t ) C i e
i 1
pi t
,
где Сi – постоянные интегрирования, определяемые параметрами системы; рi - корни
характеристического уравнения
a0 pn+a1 pn-1+…+an-1 p+an= 0.

21.

В общем случае корни этого уравнения
являются комплексно сопряженными, т.е.
рi = αi ± j βi,
где αi - действительная часть; βi – мнимая часть.
Если корни рi действительные (βi = 0), тогда
n
y c (t ) C i e .
i 1
it
При этом, если для всех корней αi < 0, то yс(t) при
t→ будет убывать. Переходный процесс будет
затухающим. Система будет устойчивой.
Если хотя бы для одного из корней αi > 0, то с
течением времени (t→
) процесс yс(t) будет
нарастать, что свидетельствует о неустойчивости
системы. Если хотя бы один корень αi = 0, то
система будет находиться на границе
устойчивости.

22.

В случае, когда имеются комплексные корни,
тогда в решении yс(t) появятся
соответствующие им слагаемые вида
it
yi (t ) Ci e sin( i t i ) ,
it
где i - частота колебания; C i e - изменяющаяся
во времени амплитуда; φi - начальная фаза.
Характер этого колебания будет зависеть от i
При i > 0 – колебание нарастает во времени;
если i < 0 – затухающее колебание;
при i = 0 – незатухающее колебание с
амплитудой Сi .

23. Графики поведения системы: а) при =0; б), в), г) – корни комплексно-сопряженные

24.

Задача нахождения корней
характеристического уравнения
существенно упрощается, если
воспользоваться операторным
методом.

25.

При этом следует воспользоваться передаточной
функцией замкнутой САР, которую получаем на
основе ЛДУ, заменив символы производных
оператором Лапласа р.
m 1
Y ( p) b0 p b1 p ... bm 1 p bm
.
К ( p)
n
n 1
X ( p) a0 p a1 p ... an 1 p an
m
Как видно из приведенной формулы,
характеристический полином находится в
знаменателе выражения для К(р).

26. Алгебраический критерий (критерий Гурвица)

Согласно критерию
Гурвица
САР устойчива, если
при α0 > 0 все
диагональные миноры
определителя Гурвица
до n-1-го порядка
больше нуля.
a1
a0
0
0
.
0
a3
a2
a1
a0
.
0
a5
a4
a3
a2
.
0
a7
a6
a5
a4
.
0
. 0
. 0
. 0
. 0
. .
. an

27.

Составляется определитель Гурвица так.
По главной диагонали записываются
коэффициенты характеристического
уравнения от а1 до а n .
В столбцах записываются коэффициенты,
соседствующие с данным коэффициентом,
с нарастанием номера снизу вверх. На
месте коэффициентов с номером i < 0
и i > n записываются нули.
Полученный определитель будет содержать
n строк и n столбцов.

28. Далее составляются диагональные миноры Гурвица:

1 а1 ;
а1 а3
2
;
а0 а2
а1 а3 а5
3 а0 а 2 а 4
0 а1 а3
;
и так далее…
Согласно данному критерию, САР устойчива,
если: а0 >0; 1>0; 2 >0;… n 1>0.

29. Частотный критерий (критерий Найквиста)

Данный критерий позволяет определить
устойчивость САР используя АФХ
разомкнутой САР.
Он гласит:
Замкнутая САР будет устойчива, если
годограф АФХ разомкнутой системы на
комплексной плоскости не охватывает
точку с координатами (-1;j0).

30. Порядок использования критерия Найквиста

Выражение для Краз(р) заменив р на j ,
представляют в алгебраической форме как
K раз ( j ) Re K раз ( j ) j Jm K раз ( j )
Затем на комплексной плоскости, при изменении частоты ω от 0 до ∞, строится годограф
АФХ и определяют устойчива система
или нет.

31. Годографы для АФХ разомкнутый САР: 1 – неустойчивой; 2 – устойчивой.

32.

33. 3. Качество процесса регулирования

34.

Для оценки качества регулирования
САР используются два показателя
– быстродействие и точность.
О них можно судить по переходной
характеристике САР, которая
может носить апериодический либо
колебательный вид.
Рассмотрим эти показатели.
О точности судят по ошибкам.

35.

Статическая
ошибка Δ0 – это
разность между
заданным y0 и
установившимся
ууст значениями
регулируемой
величины, т. е.
Δ0 = y0 - ууст .
Переходные характеристики
САР
Апериодическая
Колебательная

36.

Динамическое отклонение (ошибка) Δyd –
максимальное отклонение регулируемой
величины от установившегося
значения
Δyd = yмакс – yуст ,
где yмакс- максимальное значение регулируемой
величины.

37.

Перерегулирование σ - это
относительное динамическое
отклонение, выраженное в
процентах
y d
100%
y ycm

38.

Время регулирования (tрег ) – это время
от начала приложения внешнего
воздействия к САР до вхождения
регулируемой величины в заданную
зону допустимых отклонений,
равную Δ для апериодических, и 2Δ для
колебательных переходных процессов.
Значение зоны Δ принимают равной
(0,03…0,05)ууст .

39.

Время регулирования (tрег )

40.

41.

Лекция
закончена
Спасибо за внимание