Методы решения тригонометрических уравнений

1.

Методы решения
тригонометрических уравнений

2.

ТРИГОНОМЕТРИЯ (Часть 7)
Введение
С чего начать?
Метод замены переменной
Метод разложения на множителя (2 слайда)
Решение однордных уравнений (2 слайда)
Подсказочки

3.

Умея решать простейшие тригонометрические уравнения вида
cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a
и применяя различные формулы и преобразования, можно решить
и более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим
некоторые методы решения тригонометрических уравнений.
Методы решения
тригонометрических уравнений
1. Заменa переменной
2. Разложение на множители
3. Решение однородных уравнений и др.

4.

Перед тем, как выбрать метод решения, необходимо :
1) привести все функции к «одинаковым» углам
2) привести, если возможно, к «одинаковым» функциям
Это можно сделать с помощью следующих формул:
Формулы
двойного угла
sin 2α = 2sin α∙cos α
cos 2α = cos2α – sin2α
Примеры.
Основное тригонометрическое
тождество
sin2α+cos2α = 1
sin2α = 1 – cos2α и cos2α = 1 – sin2α
1) sin 2х – sin х = 0
2) cos2х +3sin х – 3 = 0
1 – sin2х +3sin х – 3= 0;
2sin х∙cos х – sin x = 0;
…
…
3) cos 2х – sin х = 0
cos2x – sin2x– sin x= 0;
1 – sin2х– sin2x– sin x= 0;
…

5.

Методом замены переменной часто решают
тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.
Комментарии
Отметим, что углы «одинаковые»,
а функции «разные».
Воспользуемся формулой
сos2α = 1 – sin2α.
Применив замену sin x = t,
получаем квадратное уравнение.
Найдя корни квадратного уравнения,
делаем обратную замену и решаем
полученные простейшие
тригонометрические уравнения.

6.

Методом разложения на множители решают уравнения,
в правой части которых 0, а левую часть можно разложить на
множители. Рассмотрим пример разложения на множители
вынесением общего множителя за скобки.
Комментарии
Отметим, что углы «разные».
Воспользуемся формулой
sin 2α = 2sin α∙cos α.
В правой части уравнения 0,
а в левой части можно вынести за
скобки общий множитель sin x.
Если произведение равно нулю, то
хотя бы один из множителей равен
нулю. Решаем полученные два
простейших уравнения.
Если в ответе две группы корней,
лучше брать разные буквы (n и k).

7.

Рассмотрим пример разложения на множители
с помощью формул перехода от суммы к произведению.

8.

Уравнение вида asin x + bcos x = 0 называют
однородным тригонометрическим уравнением
I степени.
Путём деления обеих частей уравнения на cos x ≠ 0
получим уравнение относительно тангенса.
Пример 4.
2sin х + 3cos x= 0
Решение.
2sin х + 3cos x= 0;
2tg х + 3= 0;
2tg х = – 3;
tg х = – 1,5;
х = – arctg 1,5 + πn, n ϵZ.
Ответ. х = –arctg 1,5+ πn, n ϵZ.

9.

Уравнение вида asin2 x + bsin x∙cos x+ ccos2 x = 0 называют
однородным тригонометрическим уравнением II степени
Путём деления обеих частей уравнения на cos2 x ≠ 0
получим квадратное уравнение относительно тангенса.