Формирование базовых компетенций студентов технического университета

1.

2. Математика

М.А.Вигура, О.А.Кеда, А.Ф.Рыбалко,
Н.М.Рыбалко, А.Б.Соболев
Математика
Поточная практика 11
Производная
УГТУ-УПИ
2007г.

3.

Производная функции

4.

Производная функции
1.Теоретическая часть
2.Задачи
3.Решения задач
4.Теоретические упражнения
5.Решения упражнений
Оглавление

5.

Производная функции
Оглавление:
1. Определение производной
2. Геометрический смысл производной
3. Правила и формулы дифференцирования
4. Производная обратной функции
5. Производная сложной функции
6. Таблица производных
7. Производные высших порядков
8. Правила вычисления производных высших порядков
9. Логарифмическая производная
10. Производная неявной функции
11. Производная функции, заданной параметрически

6.

Производная функции
Теоретическое
упражнение №:
1
2
3
4
5
6
Оглавление:

7.

Производная функции
Решение
теоретического
упражнения №:
1
2
3
4
5
6
Оглавление:

8.

Производная функции
Задача №:
Оглавление:
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
20

9.

Производная функции
Решение задачи №:
Оглавление:
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
20

10.

Производная функции
Оглавление:
1. Определение производной
Производной функции f ( x) в точке
y
lim
x 0 x при условии, что он существует:
x называется
f ( x x) f ( x)
y
dy
lim
lim
y
.
0
x
x
x x 0
dx

11.

Производная функции
Оглавление:
2. Геометрический смысл производной.
Уравнение касательной к кривой y y x в точке x0 :
y y0 y x0 x x0 .
Уравнение нормали:
1
y f ( x0 )
( x x0 )
.
f ( x0 )
Тангенс угла наклона касательной к оси ОХ:
y x0 tg

12.

Производная функции
3. Правила и формулы дифференцирования
1)
(c) 0 , c const ;
2)
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) ;
3)
4)
(c f ( x)) c f ( x) ;
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) ;
f ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)
2
5) g ( x )
, g x 0 .
g
(
x
)
Оглавление:

13.

Производная функции
4. Производная обратной функции:
1
f ( y) y y0 f ( x )
0
1
Оглавление:

14.

Производная функции
5. Производная сложной функции:
y f (u ), u ( x) ,
y x yu u x
Оглавление:

15.

Производная функции
Оглавление:
6. Таблица производных
1
c 0 c const
2
x nx
n
x 1
n 1
1
1
2
x
x
1
x
2 x
u ( x)
n
u
n u n 1 u .

16.

Производная функции
3
a a ln a
x
x
x
e
e
x
4
1
log a x
xln a
1
ln x
x
Оглавление:
u
a
a
ln a u a 0, a 1
u
u
e
e
u
u
log a u log a e
1
ln u u
u
1
u a 0, a 1
u

17.

Производная функции
Оглавление:
sin x cos x
sin
u
cos u u
6
cos x sin x
cos
u
sin u u
7
tgx
tg
u
8
ctgx
5
1
cos 2 x
1
sin 2 x
1
u
2
cos u
ctgu
1
u
2
sin u

18.

Производная функции
9
10
11
12
arcsin x
arcsin u
1
1 x
arccos x
2
arccos u
1
1 x
1
arctgx
1 x2
Оглавление:
1
arcctgx
1 x2
2
arctg
u
1
1 u
2
1
1 u
2
u
u
1
u
2
1 u
arcctg u
1
u
2
1 u

19.

Производная функции
Оглавление:
e x e x e x e x
sh x
ch x
2
2
shu chu u
e x e x e x e x
ch x
sh x
2
2
ch
u
shu u
15
shx
1
th x
2
chx ch x
thu
1
u
ch 2u
16
chx
1
cth x
2
shx sh x
cthu
1
u
2
sh u
13
14

20.

Производная функции
7. Производные высших порядков
d2y
( x) 2 f ( x)
f
Производная второго порядка:
dx
n
d
y
( n)
( n 1)
f
(
x
)
f
(
x
)
n
Производная n -го порядка:
dx
Оглавление:

21.

Производная функции
Оглавление:
8. Правила вычисления производной n-го порядка
1. f ( x) g ( x)
(n)
f ( n ) ( x) g ( n ) ( x) .
2. Формула Лейбница (производная произведения):
f ( x) g ( x)
(n)
где Ckn
n
Cnk f ( n k ) ( x) g ( k ) ( x),
k 0
n!
число сочетаний из n по k;
k !(n k )!
где n! n n 1 n 2 .....3 2 1, 0! 1! 1 .

22.

Производная функции
9. Логарифмическая производная
1
ln y ln f ( x), ln y x y ,
y
y y ln y .
Оглавление:

23.

Производная функции
Оглавление:
10. Производная неявной функции
Для отыскания второй производной соотношение
F x, y x 0
дифференцируем два раза по переменной x , считая y функцией
x , и выражаем y как функцию y и x :
F1 x, y x , y x 0 y x

24.

Производная функции
Оглавление:
11. Производные функции, заданной параметрически
t
y
x x (t )
y
x
y y x
xt
y y (t )
y
x t
y xx y x x
xt

25.

Производная функции
Оглавление:
Пользуясь определением производной,
найдите производную функции
f x log 2 x
Теоретическое упражнение 1
1
Ответ: log 2 e
x
Решение:

26.

Производная функции
Для
найдите
Оглавление:
x, x 1,
f x 2
x 2 x, x 1, ,
x0 1 ,
f ' x0 и f ' x0 .
Теоретическое упражнение 2
Ответ: 1,0
Решение:

27.

Производная функции
Оглавление:
1
x , x 1,
f x
ax 2 b, x 1. .
Найдите коэффициенты a и b такие,
чтобы функция f x была непрерывна и
дифференцируема в любой точке.
Теоретическое упражнение 3
1
3
b
Ответ: a
2
2
Решение:

28.

Производная функции
Оглавление:
Докажите, что производная
четной функции – функция нечетная,
а производная нечетной – функция четная.
Теоретическое упражнение 4
Ответ:
Решение:

29.

Производная функции
Оглавление:
Пусть y a x – функция,
обратная заданной y f x .
Выразите a ' x через x и a x ,
x
f
x
x
e
если
.
Теоретическое упражнение 5
1
Ответ:
x
1 e
Решение:

30.

Производная функции
Оглавление:
Покажите, что функция
y arcsin x
удовлетворяет дифференциальному уравнению
1 x y xy
2
Теоретическое упражнение 6
Ответ:
Решение:

31.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y (x) ,
3
y
arctg
x.
если
Задача 1
2
Ответ: y 3arctg x
1
1 x2
Решение:

32.

Производная функции
Найдите y (x) ,
Оглавление:
2
3
x
4
x
ln
sin
y
.
если
Задача 2
1
Ответ: y cos ln x 4 x 3
3x 2 8 x
2
x 4x
3
2
Решение:

33.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y (x) ,
sin x cos x
y
если
sin x cos x
Задача 3
2
Ответ:
1 sin 2x
Решение:

34.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y (x) , если
y ln( 2 sin x 1 2 sin x 1) .
Задача 4
Ответ:
cos x
4sin 2 x 1
Решение:

35.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y (x) , если
ln x
y arctg
3
Задача 5
Ответ: y
1
1
3
ln 2 x 3x x(9 ln 2 x)
1
9
Решение:

36.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y (x) , если
x
5 x
y 5sh
3sh
15
15
3
Задача 6
x
x
ch3
Ответ: sh
15
15
2
Решение:

37.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y (x) , если
y x
x
Задача 7
Ответ: y ln x 1 x .
x
Решение:

38.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y (x) , если
y (sin x)tgx
Задача 8
Ответ:
ln sin x
tgx
y (ln y ) y 1
(sin
x
)
.
2
cos x
Решение:

39.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y (x) , если
(2 x 1) 3x 2
y
2 3
(5 x 4) 1 x
3
Задача 9
Ответ:
(2 x 1)3 3 x 2 6
3
10
1
y
;
2 3
(5 x 4) 1 x 2 x 1 2(3 x 2) 5 x 4 3(1 x)
Решение:

40.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y (x) , если
3
x
x 1
5
y
x 6
7
.
Задача 10
Ответ:
1 3
7
1 5 x x 1
y
.
5 6 x 1 x 6
x 6
3
7
Решение:

41.

Производная функции
Оглавление:
Вычислите производную yxў
функции заданной параметрически:
2
x = sin t ,
π
y = cos t , 0 < t <
2
2
Задача 11
Ответ: -1
Решение:

42.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y (x) , если
x t 3 3t 1;
y x y 3t 5 5t 3 1.
Задача 12
Ответ: 5t
2
Решение:

43.

Производная функции
Оглавление:
Составьте уравнения касательной и нормали к
кривой
x 2 2x 3
y
4
в точке x0 4 .
Задача 13
Ответ:
1
1
y (6 x 19) y ( 32 x 47)
12
4
Решение:

44.

Производная функции
Оглавление:
Составьте уравнение касательной к графику
функции
x a cos 3 t
y x y a sin 3 t
в точке t 4
Задача 14
a 2
Ответ: y x
2
Решение:

45.

Производная функции
Оглавление:
Найдите производную y x функции y x , если
она задана неявно уравнением
x x y xy 0
2
2
2
Задача 15
2
Ответ: y 2 x 2 xy y
x x 2 y
Решение:

46.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y , y , y ,....
если
y x5 2 x 4 3x3 x 2 0,5 x 7 .
Задача 16
Ответ:
Решение:

47.

Производная функции
Оглавление:
Найдите производную n – го порядка от функции
y e ax x 2 .
Задача 17
n(n 1) n 2 ax
a e 2
Ответ: a e x na e 2 x
2
n ax
2
n 1 ax
Решение:

48.

Производная функции
Найдите
если
Оглавление:
y (100) ( x) ,
y x shx.
Задача 18
Ответ:
x shx 100 chx
Решение:

49.

Производная функции
y и y функции,
Найдите
параметрически:
sin t
1
y tg t
x sec t
,
cos t ,
cos t
t 0,
2 .
Оглавление:
заданной
Задача 19
Ответ:
1
y x
sin t
y ctg3 t
x
y
1
y 3
y
y x
Решение:

50.

Производная функции
Оглавление:
Найдите y и y функции, заданной неявно:
y tg x y .
Задача 20
1
Ответ: y x 1 2
y
y xx
2 y 2 1
y5
Решение:

51.

В результате студент должен уметь:
1. Написать уравнения касательной и нормали к
графику функции на основании геометрического
смысла производной.
2. Пользоваться правилами и формулами дифференцирования.
3. Вычислять производную сложной, обратной, неявной и
параметрически заданной функции.
4. Вычислять производные высших порядков.

52.

Перечень источников,
список дополнительной литературы по теме.
1.
Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в
анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций
одной переменной. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные
уравнения./ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др. / Под
ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.:
Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-940520-34-0.
2. Данко, Павел Ефимович. Высшая математика в упражнениях и
задачах: Учеб. пособие для вузов: В 2 ч. Ч. 1 / П.Е. Данко, А.Г.
Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС 21 век : Мир и
образование, 2003. - 304с.: ил.; 22 см. - ISBN 5-329-00326-1.
3. Кузнецов, Леонид Антонович. Сборник задач по высшей математике.
Типовые расчеты: учеб. пособие / Л. А. Кузнецов. - Изд. 3-е, испр. –
СПб. ; М. ; Краснодар: Лань, 2005. - 240 с.; 21 см. - (Учебники для
вузов. Специальная литература). - Загл. 1-го изд.: Сборник заданий
по высшей математике: Типовые расчеты. - ISBN 5-8114-0574-X.