Элементы математического анализа

1. Элементы математического анализа

1.
Функция. Область определения функции.
Предел функции, непрерывность функции.
2. Определение производной, ее геометрический
смысл. Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью.
Дифференциал
функции.
3. Первообразная. Неопределенный интеграл и
его свойства. Таблица основных интегралов.
Методы интегрирования: метод подстановки,
метод интегрирования по частям.

2. 1.Определение функции, основные понятия

Понятие,
Определение
Аналитическое
обозначение
задание,геометрический
образ
1. Функция
y f x
2. Область
определения
функции D y
Отображение
числового
множества D
на числовое
множество E.
y- функция (зависимая
переменная)
x- аргумент независимая
переменная)
Множество
значений x при
которых функция y
определена.
D y x : f x существует

3.

Понятие,
обозначение
Определение
3. Область
Множество значений
значений
функции y для всех
функции E y
x D y
4. График
функции f
Множество точек
плоскоcти
f
5. Частное
значение
функции
f a , y x a
Аналитическое
задание,геометрический
образ
E y y : y f x , x D y
x, f x , x D y
Значение функции y
при заданном
значении аргумента
x=a.
График – это линия в R 2

4. Поведение функции в точке

Понятие
Обозначение Определение
1.Проколатая u a0
окрестность
a r , a
точки a
a, a r
4.Предел
функции
y=f(x) в
точке a
lim f x b
x a
Окрестность точки a, из которой
удалена сама
точка a.
0 u a0 :
x u a0
f x b
Геометрическое
изображение
u a0

5. Теоремы о пределах

Понятие, теорема
Формула, формулировка
1.Единственность предела
Если предел существует, то он
единственен.
2.Связь функции с её пределом
lim f x b f x b x
3.Предел суммы и разности
lim f1 x f 2 x lim f1 x lim f 2 x
4.Предел произведения
lim f1 x f 2 x lim f1 x lim f 2 x
5.Предел частного
f1 x lim f1 x
lim
, lim f 2 x 0
f 2 x lim f 2 x
sin x
1
x 0 x
6.Первый замечательный
предел
7.Второй замечательный
предел
lim
lim 1 x
1x
x 0
e,
x
1
lim 1 e
x
x

6. Понятие непрерывности функции.

Понятие
Определение
1.Непрерыв- Первое определение
ность функции lim f x f x0
x x0
y=f(x) в точке
x0
Второе определение
lim y 0, где
x 0
x x x0 - приращение
аргумента,
y f x0 x f x0 -
приращение функции
2.Точки разрыва Точки x1, x2 ,в которых
функции
нарушена непрерывность
функции
Геометрическоеизображение

7. Свойства непрерывных функций

Условие
1.Функция y=f(x)
непрерывна в
точке x0
Свойство
lim f x f lim
x x0
x x0
x
1) f x g x , 2) f x g x
2.Функции y=f(x),
- непрерывны в
y=g(x) непрерывны в
f x
точке x
0
3)
,
g
x
0
0
точке x0
g x
3. Функция
непрерывна на
[a,b]
Функция на [a,b]
1) ограничена
f x C , x a, b
2)принимает наибольшее M и наименьшее m
значения
3)принимает все промежуточные значения между m и M

8.

2. Производная, ее геометрический смысл.
Рассмотрим функцию y = f (x).
Опр. Производной функции y = f (x) в точке x называется
предел отношения приращения функции к приращению
аргумента, когда приращение аргумента стремится к
нулю:
Обозначения:
y , f ( x), f x
dy df
,
dx dx
30 марта 2017 г.
11-20
13-10
y
y lim
.
x 0 x
– ввел Ж.Лагранж
– ввел Г.Лейбниц
8

9.

y
Правило дифференцирования по шагам y f ( x) y lim
x 0 x
1. Дать аргументу x приращение Δx и найти приращенное
значение функции
f ( x x).
2. Найти приращение функции
3. Вычислить отношение
y
.
x
y f ( x x) f ( x).
y
.
4. Найти производную y lim
x 0 x
30 марта 2017 г.
11-25
13-15
9

10.

Дифференцирование функции
В1. Производная, ее геометрический и физический
смысл. Уравнения касательной и нормали к графику
функции
1.5. Геометрический смысл производной
Пусть дана функция y f ( x).
y
y0+Δy
y0
y f ( x)
N
M0
α β y
x
M 0 ( x0 , y0 ), N ( x0 x, y0 y)
Опр. Касательной к линии в точке M0
называется предельное положение
секущей M0N, когда точка N линии
неограниченно приближается к точке
M0.
0 x0
x
x0+Δx
y
tg
–
угол
наклона
секущей
M
N;
. – угол наклона касательной.
0
x
y
kкас tg lim tg lim
f ( x0 ).
y
N M 0
x 0 x
lim
kyкас
f ( x0 )
x 0 x
N M 0 x 0.
Геометрический
смысл:
30 марта 2017 г.
11-40
13-30
Производная f ’( x0) – это угловой коэффициент
касательной к графику функции y = f (x) в точке
M0(x0, f (x0)).
10

11.

Лекция 6 (№42) Дифференцирование функции
В1. Производная, ее геометрический и физический
смысл. Уравнения касательной и нормали к графику
функции
1.6. Уравнения касательной и нормали к графику функции
Пусть дана функция y f ( x).
Записать уравнения касательной и нормали к графику этой функции
в точке M 0 ( x0 , y0 ).
Уравнение прямой с заданным
y
угловым коэффициентом, проходящей
y f ( x)
через заданную точку:
M0
y y0 k ( x x0 )
y0
Касательная
kкас f ( x0 )
0
x0
x
Нормаль к касательной
kкас kнорм 1 kнорм
yнорм y0
30 марта 2017 г.
11-50
13-40
yкас y0 f ( x0 )( x x0 )
1
( x x0 )
f ( x0 )
1
kкас
1
f ( x0 )
11

12.

Дифференцирование функции
В2. Непрерывность функции, имеющей конечную производную
Опр.
Функция, имеющая конечную производную в точке,
называется дифференцируемой в этой точке.
Теорема.
Если функция y = f ( x ) дифференцируема в точке,
то она непрерывна в этой точке.
Замечание.
Обратное
утверждение
неверно.
M0
M0
y
0
30 марта 2017 г.
12-00
13-50
f (M 0 )
y
x 0
f ( M 0 )
x
12

13.

Формулы дифференцирования
Формулы дифференцирования
y
x 0 x
y lim
C 0
(u v) u v
sin x cos x
cos x sin x
log a x
1
ln
x
x
x
n
nx
1
x ln a
n 1
x 1
arcsin x
tg x
a a
x
x
1
1 x2
(uv) u v uv
1
2 x
x
ln a
1
cos 2 x
e e
x
u u v uv
v
v2
1
ctg
x
sin 2 x
x
1
1
2
x
x
arccos x
1
1 x2
arctg x
arcctg x
12-20
1
1 x2
1
1 x2

14.

Формулы дифференцирования
В2. Производная сложной функции
В2. Производная сложной функции
Определение. Функция y называется сложной функцией
переменной x, если y f u , u g x y f g x .
Переменная u называется промежуточной переменной.
Функции y=f(u) и u=g(x) называются звеньями сложной
функции.
Примеры.
1) y u 2 , u tg x y tg 2 x.
Два звена.
2) y ln u, u sin x y ln sin x.
Сложная функция может состоять из большего числа звеньев: y f g x .
Три звена.
Пример. y u 2 , u cos v, v ln x y cos2 ln x .
При дифференцировании сложной функции важно уметь представить ее в
виде цепочки звеньев.
2
Пример. y ctg ln x2 y ctg u, u ln v, v x .
30 марта 2017 г.
11-25
14

15.

Производная сложной функции
Теорема. Если функции y=f (u) и u=g(x) дифференцируемы, то
производная сложной функции y=f [g(x)] находится по
формуле
yx yu ux . Правило цепочки.
Примеры.
1) y sin ln x y sin u, u ln x
yu cos u, u x
1 cos ln x
.
x
x
sin x .
2) y tg cos x
cos 2 cos x
yx yu ux cos u
Замечание.
30 марта 2017 г.
11-35
y f u , u g v , v x
1
x
tg x
1
cos
ln
x
sin
x
x
x
1
cos 2 x
cos x sin x
yx yu uv vx .
15

16. 3. Неопределенный интеграл

№
Дифференциал
Неопределенный
интеграл
1
d (C) 0, C const
2
d ( x ) nx
3
4
n
n 1
dx
1
d (ln x) dx
x
d (a ) a ln adx
x
x
dx x C
1 dx x C
n 1
x
n
x
dx n 1 C , n 1
dx
x ln x C
x
a
x
a
dx ln a C

17. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства

Опр. Функция называется первообразной для
функции , если выполняется равенство
F ( x ) f ( x )
Например,
1) для функции
f ( x ) cos x
первообразной является функция
2) для функции
3) для функции
F ( x) sin x
3
x
f x x2 F x
3
1
f x
F x tg x
2
cos x

18.

• Теорема 1. Если функция
является
F ( x) первообразной
для функции
то функция
f ( x),
F ( x) C , где C — произвольная постоянная, также
будет первообразной для функции .
Неопределенный интеграл
Определение. Совокупность всех первообразных
f ( x)
для функции
называется неопределенным
интегралом от функции
и обозначается f ( x )
f ( x )dx
.
f ( x )dx F ( x ) C

19.

• Геометрический смысл
неопределенного интеграла —
это совокупность кривых,
получаемых путем сдвига одной
из кривых параллельно самой
себе вдоль оси 0y.
Например,
2
2xdx
x
C
— совокупность парабол
y
y x2
0
x

20.

Свойства неопределенного интеграла
f ( x)dx f ( x)
d
f ( x)dx f ( x)dx
F ( x)dx F ( x) C
или
d F ( x) F ( x) C
f1( x) f2 ( x) f3 ( x) dx f1( x)dx f 2 ( x)dx f3 ( x)dx
af ( x)dx a f ( x)dx

21. Интегрирование функций. Таблица основных формул интегрирования

x n 1
x dx n 1 C, n 1
n
dx
x ln x C
x
a
x
a
dx ln a C
sin xdx cos x C
dx
cos2 x tg x C
dx
sin2 x ctg x C
e dx e C
cos xdx sin x C
dx
1 x 2 arctg x C
x
x
dx
1 x2
arcsin x C

22. Свойство линейности и методы интегрирования

Метод
интегрирования
1.Свойство
линейности
2.Непосредс
твенное
интегрирова
ние
Формула
C1 f1 ( x) C 2 f 2 ( x) dx
C1 f 1 ( x)dx C 2 f 2 ( x)dx
f ( x)dx F ( x) C
F ( x)
- первообразная
f (u)du F (u) C
u u( x )
- дифференцируемая функция
1
f (kx b)dx k F (kx b) C
Частный случай

23.

Метод
интегрирования
3.Интегрирование
по частям
Формула
4.Метод замены
переменной
f ( x)dx f x(t ) x (t )dt
udv uv vdu
x x (t )
dx x (t )dt

24.

Найти интеграл:
Решение:
4
x
1) 2 3 1 dx
x
4
x
2
x
2 3 1 dx 4 x dx 3 dx dx
x
1
x
x
x
3
4 3
4
x C
x C
1 ln 3
x ln 3
2) 1 2 x e3 x dx
u 1 2 x, dv e3 x dx
3x
3x
e
e
2dx
(1 2 x )
e3 x
3
3
du 2dx, v
3
(1 2 x)e 3x 2 3x
e C
3
9

25. Определенный интеграл

1. Задача о вычислении площади
криволинейной трапеции
Опр. Криволинейной трапецией называется плоская
фигура, ограниченная осью 0x, вертикальными
прямыми x a x b и графиком функции y f ( x)
Постановка задачи.y
Найти площадь
криволинейной
трапеции
y f ( x)
Sk f ( k ) xk
n
S f ( k ) xk
k 1
1
O x 0 a x1
2
n
x2
x n 1
xn b
x

26.

площадь всей криволинейной трапеции найдется по
n
приближенной формуле
S f ( k ) xk
Перейдя к пределу при
k 1
n
стремлении
максимальной длины S
lim
f ( k ) xk
n
участка разбиения
k 1
max
x
0
отрезка к нулю, получим
k
точную формулу для
площади криволинейной
трапеции
называется интегральной суммой
n
f ( k ) xk для функции f ( x)на отрезке [a, b] .
Где
Она зависит от способа разбиения
k 1
отрезка на части и от выбора точек
.
k

27.

Если существует конечный предел последовательности
интегральных сумм при max xk 0, не зависящий ни от
способа разбиения отрезка [a, b] на части, ни от выбора
точек k , то этот предел называется определенным
интегралом от функции f ( x) на отрезке [a, b] и
обозначается b
f ( x)dx
a
Таким образом,
по определению
b
n
f ( x)dx
a
lim
f ( k ) xk
n
max xk 0 k 1
Число a называется нижним пределом интегрирования, b –
верхним пределом интегрирования, отрезок [ a, b] – отрезком
интегрирования.

28.

В3. Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление определенного интеграла
В3. Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема. Если F(x) – некоторая первообразная непрерывной функции f(x),
b
то справедлива формула
f ( x)dx F (b) F (a ).
Эта формула называется формулой
Ньютона-Лейбница.
a
Введем знак «двойной подстановки»:
F ( x) |ba F (b) F (a)
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
b
f ( x)dx F ( x) |ba F (b) F (a)
a
b
Вычисление определенного интеграла
f ( x)dx
a
1. Найти первообразную F(x) для функции f(x) ;
2. Вычислить разность F(b) – F(a) .
.

29.

Вычисление определенного интеграла
Методы интегрирования.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема. Если u x , v x , u ( x), v ( x) – непрерывны на отрезке [ a,b ] ,
то имеет место формула
b
b
b
udv
uv
|
a vdu ,
a
a
которая называется формулой интегрирования по частям
в определенном интеграле.
(3)

30.

Вычисление определенного интеграла
Методы интегрирования.
Методы интегрирования.
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема. Пусть дан
b
f ( x)dx,
a
где f(x) – непрерывная на [ a,b ] функция. Пусть x (t ), причем
(t ) удовлетворяет условиям:
1) (t ) , (t ) – непрерывна на [ , ],
2) ( ) a , ( ) b .
Тогда имеет место формула
b
f ( x)dx f [ (t )] (t )dt
a
(2)
Необходимо запомнить:
1) в определенном интеграле обязательна смена пределов интегрирования
по формулам ( ) a , ( ) b ;
2) после нахождения неопределенного интеграла надо вернуться к старой
переменной, а в определенном интеграле этого делать не нужно.

31. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть функция y f ( x) непрерывна на участке [ a, )
оси Ox. Выберем произвольное значение t [a, ) и
t
рассмотрим определенный интеграл
конечном отрезке [a, t ] .
f ( x)dx
a
Опр. Несобственным интегралом от функции
на промежутке
[ a, )
называется
t
lim f ( x)dx
t
a
и обозначается
a
на
f ( x)dx
y f ( x)

32.

Итак, по определению
t
f ( x) dx
f ( x)dx tlim
a
a
Если указанный предел существует, то
несобственный интеграл называется сходящимся, а
если не существует, то – расходящимся.
Геометрический смысл
несобственного интеграла.
y
Если f ( x) 0 , то a
–
это площадь бесконечной
криволинейной трапеции с O
основанием [a, )
y f ( x)
f ( x)dx
a
x

33.

Несобственные интегралы
t
1) f ( x )dx lim f ( x )dx верхний предел=
a
b
t
2) f ( x )dx lim
3) f ( x )dx
a
b
f ( x )dx нижний предел =-
t
t
c
f ( x )dx f ( x )dx оба предела=
c