Производная показательной и логарифмической функции

1. Производная показательной и логарифмической функции

11 класс

2.

Функция
y ex
y
y e
x
450
0
Число e — иррациональное, т. е.
представляет собой бесконечную
десятичную непериодическую
дробь: e=2,7182818284590...; на
практике обычно полагают,
что e≈2,7.
x
Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков
показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между
касательной к графику в точке x=0 и осью абсцисс равен 45°.

3.

Свойства функции
y e
x
1. D( f ) ;
2. E( f ) 0;
3. Не является ни четной, ни нечетной.
4. Возрастает.
5. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения
7. Дифференцируема
Формула для отыскания производной
e e
x
x

4.

Натуральный логарифм. Функция
y ln x
Если основанием логарифма служит число e, то говорят, что
задан натуральный логарифм ln x
График функции y = ln x симметричен графику
относительно прямой у = х
y ex

5.

Свойства функции
y ln x
1. D( f ) 0;
2. E( f ) 0;
3. Не является ни четной, ни нечетной.
4. Возрастает на 0;
5. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения
7. Дифференцируема

6.

Свойства натурального
логарифма
ln 1 0
ln e 1
e
ln a
a

7.

для любого значения x > 0 справедлива
формула дифференцирования
1
ln x
x
Пример1:
y 5 ln x cos x
1
5
y 5 sin x sin x
x
x
Пример2:
y ln 7 3x
y
1
3
7 3x
7 3x
7 3x

8.

Докажем, что справедлива формула дифференцирования
a
x
Пусть дана функция
a ln a
x
y a
x
Используя основное логарифмическое тождество,
ln a
представим a e
ln a x
Получим равенство y e
Найдем производную этой функции
e e
ln a x
x ln a
e
x ln a
x ln a e
x ln a
ln a a ln a
x

9.

Пусть теперь дана логарифмическая функция y log a x
Найдем формулу дифференцирования этой функции
Используя основную формулу перехода логарифма к
новому основанию, получаем
ln x
log a x
ln a
ln
x
1
1 1
1
y log a x
ln x
ln a x x ln a
ln a ln a
log a x
1
x ln a

10.

Пример
y 5 x log 3 2 x 7
y (5 x log 3 2 x 7 ) 5 x ln 5
1
2
2 x 7 5 x ln 5
(2 x 7) ln 3
ln 3(2 x 7)

11. Домашнее задание для 11 А

№ 19.23 - №19.28 а)б)

12. Домашнее задание для 11 Б

№1633 - №1636 а)б)
№1649 - №1650 а)б)