ДУ высших порядков

1.

ДУ n –го порядка имеет вид:
F ( x, y, y ,... y ) 0
( n)

2.

Если такое уравнение разрешимо относительно
старшей производной, то оно имеет вид:
y
( n)
f ( x, y, y ,..., y
( n 1)
)
Решением такого уравнения будет функция у(х),
которая обращает его в тождество.

3.

Для удобства вместо одного ДУ n – го порядка
рассматривают систему из n ДУ первого
порядка.
dy
y1 ;
dx
dyn 2
dy1
y2 ; ...;
yn 1
dx
dx
Поэтому
y
(n)
dy n 1
dx

4.

Тогда можно записать:
dyn 1
f ( x, y, y1 ,... yn 1 )
dx
Это система n ДУ с n неизвестными функциями
y, y1 ,... yn 1
Система, в которой слева стоят производные от
искомых функций, а справа – функции от
независимой переменной и искомой функции,
называется системой n ДУ первого порядка
нормальной формы.

5.

Обобщим эту систему:
dy1
dx f1 ( x, y, y1 ,... yn )
dy
2 f 2 ( x, y, y1 ,... yn )
dx
...
dyn
f n ( x, y, y1 ,... yn )
dx
1

6.

Пусть для системы (1) выполняются
следующие условия:
1
Функции fi непрерывны по всем аргументам
в области D.

7.

2
Частные производные
df i
dyk
непрерывны в области D.

8.

Тогда существует одна и только одна
система решений уравнений (1):
y1 y1 ( x),
y2 y2 ( x), ... yn yn ( x)
определенная в некоторой окрестности
точки х0 и удовлетворяющая при х=х0
заданным условиям:
y y1 ( x0 ), y2 y2 ( x0 ), ... yn yn ( x0 )
0
1
0
0

9.

Теорема Коши утверждает существование частного
решения системы (1).
Геометрически это означает, что существует
единственная интегральная кривая, проходящая
через точку
0
1
0
( x0 , y ,..., yn )

10.

Уравнение
y ( n ) f ( x, y, y ,..., y ( n 1) )
правая часть которого непрерывна по всем
аргументам и дифференцируема по ним в
некоторой замкнутой области D, имеет
единственное решение, удовлетворяющее
начальным условиям при х=х0 :

11.

x x0 , y y0 , y y0 , ... y
( n 1)
где
( n 1)
x0 , y0 , y0 , ..., y0
- заданные числа.
y
( n 1)
0

12.

Эта теорема определяет частное решение ДУ n- го
порядка.
Общее решение этого уравнения будет содержать n
произвольных постоянных:
y ( x, C1 , C2 ,..., Cn )