Равносильность уравнений

1.

РАВНОСИЛЬНОСТЬ
УРАВНЕНИЙ
ОГАПОУ «Белгородский техникум промышленности и сферы услуг»
Преподаватель математики Веревкина А.А.

2.

Система основных понятий
Неизвестное – буква для обозначения какойлибо неизвестной величины
Уравнение – два выражения с неизвестными,
соединенные знаком равенства
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения
– множество значений, которые могут
принимать неизвестные, входящие в уравнения

3.

Система основных понятий
Решение уравнения – набор значений
неизвестных (из ОДЗ), при подстановке которых
уравнение превращается в верное числовое
равенство
Решить уравнение (найти корни уравнения) –
найти, описать все решения уравнения
Может оказаться, что уравнение решений не
имеет, т.е. множество решений пусто

4.

Язык теории множеств
Уравнение будем обозначать буквой Е
Множество решений уравнения R(E)
Область допустимых значений (ОДЗ) D(E)
R(E) D(E) – корни уравнения должны входить
в его ОДЗ

5.

Язык теории множеств
Если уравнение Е не имеет решений, то R(E)=
- пустое множество
Если уравнение Е имеет единственное решение,
то множество R(E) состоит из одного элемента
Уравнение Е2 является следствием уравнения Е1,
если R(E2) R(E1), т.е. каждое решение
уравнения Е1 является решением уравнения Е2

6.

Язык теории множеств
Уравнение Е2 равносильно уравнению Е1, если
R(E2)=R(E1), т.е. множества решений Е1 и Е2
совпадают
Уравнения Е1 и Е2 равносильны, если каждое
решение уравнения Е1 является решением
уравнения Е2 и каждое решение уравнения Е2
является решением уравнения Е1

7.

Язык теории множеств
Обычный путь решения уравнения состоит в
построении цепочки следствий, последнее
уравнение которой мы решать умеем.
После этого либо выполняют проверку, либо
выясняют, будут ли уравнения цепочки
равносильны друг другу.

8.

Язык теории множеств
Если при переходе от уравнения Е1 к уравнению
Е2 оказалось, что множество R(E2) больше
множества R(E1), т.е. R(E1) R(E2), то говорят, что
появились «посторонние корни», которые надо
отсеять.
Например:
x 2 x
2
x 2 x
2

9.

Язык теории множеств
Если при переходе от уравнения Е1 к уравнению
Е2 оказалось, что не все элементы множества
R(E1) вошли в R(E2), то говорят, что произошла
«потеря корней».
Например:
x 1 х 1 2 х 1
2
х 1 2х 1

10.

Язык теории множеств
Следствия можно записывать с помощью
логического знака следствия (импликации):
Е1 Е2 означает, что R(E1) R(E2)
Равносильность уравнений записывается с
помощью знака эквивалентности
(равносильности):
Е1 Е2 означает, что R(E1) = R(E2)

11.

Язык теории множеств
Система уравнений – это набор нескольких
уравнений вместе с задачей нахождения
решений, которые удовлетворяют каждому из
уравнений
Е1 ,
Обозначение: Е
Е2 .
Решение системы Е - множество всех общих
решений уравнений Е1 и Е2 (пересечение), т.е.
R(E) = R(E1) R(E2)

12.

Язык теории множеств
Совокупность уравнений – набор нескольких
уравнений вместе с задачей нахождения
решений, которые удовлетворяют хотя бы
одному из уравнений
Е1 ,
Обозначение:
Е
Е2 .
Решение совокупности Е - это объединение
решений уравнений Е1 и Е2, т.е.
R(E) = R(E1) R(E2)

13.

Язык теории множеств
Совокупность уравнений часто появляется при
необходимости разбить ОДЗ уравнения на
более мелкие части: если
D(E) = D1 D2
то уравнение Е равносильно совокупности
уравнений, запись которых совпадает с записью
уравнения Е, но которые имеют областями
допустимых значений множества D1 и D2

14.

Решение упражнений
Определите, при каких значениях х имеет
смысл выражение
х
х 1
а)
;
х 1
х
г) х 3 х ;
1
1
б)
;
х 2
1 х
х х 5
д)
;
7 х
5 3х
в)
;
2х 4
1
е) ln 5 x ;
x
2

15.

Подведем итоги
Что означает решить уравнение?
Можно ли утверждать, что уравнение решено, если
определено, что у него нет корней?
Что означает, что одно уравнение является
следствием другого?
Какие уравнения называют равносильными?
Какая разница между системой уравнений и
совокупностью уравнений?
Что может произойти, если переписать уравнение,
изменив его область допустимых значений?

16.

Домашнее задание:
Стр. 228-231 «Учебник. Математика» М.И.
Башмаков, - М., «Академия», 2014
Стр. 283 №12.1 (8,9) «Задачник. Математика»
М.И. Башмаков, - М., «Академия», 2014