Четыре замечательные точки треугольника

1. Презентация «Четыре замечательные точки треугольника»

2. Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла

Теорема1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла
равноудалена от его сторон.
В
Дано:
Х
Е
М
М
ВАС, АХ – биссектриса,
є АХ, МЕ
АВ, МК
АС
Доказать: МЕ = МК
Доказательство.
А
К
С
Теорема 2 ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и
равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.
Биссектриса неразвёрнутого угла –
это геометрическое место множества точек плоскости,
лежащих внутри этого угла и равноудалённых от его сторон.

3. Серединный перпендикуляр к отрезку

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку
равноудалена от его концов.
Р
Дано: АВ – отрезок,
М
РК – серединный перпендикуляр,
М є РК
Доказать: МА = МВ
А
К
В
Доказательство.
Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на
серединном перпендикуляре к нему.
Геометрическим местом точек плоскости,
равноудалённых от концов отрезка, является
серединный перпендикуляр к этому отрезку.

4. Моделирование

• Сгибанием моделей треугольника(у
каждого ученика), построить:
• 1. Биссектрисы (I ряд)
• 2. Медианы
(II ряд)
• 3. Серединные
перпендикуляры (IIIряд)
• 4. Высоты
• Сделайте вывод.
• О чем пойдет речь на уроке?

5. Четыре замечательные точки треугольника

медианы
Четыре
замечательные
точки
треугольника
серединные перпендикуляры
биссектрисы
высоты

6. Первая замечательная точка треугольника

Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
(ИНЦЕНТР)
В
М
У
О
РЕ
С
А
ТК

7. Точка пересечения биссектрис треугольника-центр вписанной окружности инцентр

Точка пересечения
биссектрис треугольникацентр вписанной окружности
инцентр

8. Вторая замечательная точка треугольника

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке.
В
k
p
О
А
n
С

9.

Вторая замечательная точка
треугольника (продолжение)
Ещё возможное расположение:

10.

Точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника -
центр описанной окружности

11. Третья замечательная точка треугольника

Теорема.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроид),
которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от вершины.
В
Р
А
О
К
М
С

12. Четвёртая замечательная точка треугольника

Теорема. Высоты треугольника или их продолжения
пересекаются в одной точке (ортоцентр)
В
В
А
К
Н
М
А
О
Н
К
А
С
М
С
С(К,Н,О)
М
В
О

13.

Дополнительное задание
Теорема о малоизвестном свойстве
биссектрисы треугольника
Пусть биссектрисы АL1,ВL2,СL3 треугольника
АВС пересекаются в точке О, тогда
АО/ОL1=(в+с)/ а, ВО/ОL2=(а+с)/в, СО/ОL3=(а+в)/с
А
в
С
х
L2
с
О
L1 а
L3
В

14.

Прямая Эйлера

15.

Окружность девяти точек,
окружность Фейербаха,
окружность Эйлера
Три точки – середины
сторон треугольника,
Три точки – основания трех
высот,
Три точки – середины
отрезков, соединяющих
его вершины с
ортоцентром.

16.

Дома: №,676(б),
п.74-76
678(б)