Четыре замечательные точки треугольника. 8 класс

1. Четыре замечательные точки треугольника

медианы
Четыре замечательные
точки треугольника
серединные перпендикуляры
биссектрисы
высоты

2. Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла

Теорема1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от
его сторон.
В
Дано:
Х
Е
М є АХ, МЕ
М
А
К
ВАС, АХ – биссектриса,
АВ, МК
АС
Доказать: МЕ = МК
С
Теорема 2 ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и
равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе
этого угла.
Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла – множество точек плоскости,
равноудалённых от сторон этого угла.

3. Серединный перпендикуляр к отрезку

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку
равноудалена от его концов.
Р
М
Дано: АВ – отрезок,
РК – серединный перпендикуляр,
М є РК
Доказать: МА = МВ
А
К
В
Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на
серединном перпендикуляре к нему.
Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку – множество точек
плоскости,
равноудалённых от его концов.

4. Первая замечательная точка треугольника

Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
В
М
У
О
Дано:
АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы,
О - точка их пересечения
Р
Е
Доказать: СУ – биссектриса
С
А
Т К
АВС, О є СУ

5. Вторая замечательная точка треугольника

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке.
В
k
Дано:
АВС, k,n – серединные
перпендикуляры к сторонам
треугольника,
О – точка их пересечения
p
О
А
n
С
Доказать: р – серединный
перпендикуляр к ВС, О є р

6.

Вторая замечательная точка треугольника
(продолжение)
Ещё возможное расположение:

7. Третья замечательная точка треугольника

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от
вершины.
(центр тяжести треугольника – центроид)
В
Дано:
Р
А
О
К
М
АВС, AM,ВК,СР - медианы
Доказать:
С
АМ ВК СР = О

8. Четвёртая замечательная точка треугольника

Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной
точке(ортоцентр).
В
В
А
К
Н
М
А
О
Н
К
А
С
М
С
С(К,Н,О)
М
В
О
Дано:
АВС, АК, ВН, СМ - высоты
Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений.

9. Задача 1

10.

B
M
30
A
20
C

11. Решение:

12.

Задача 2
В
Дано:
АВС, АМ = ВМ, МD AB,
AK = KC,
DK AC, D є BC.
D
М
Доказать: D - середина ВС,
А=
В+
С.
1
А
2
С
К
а)
АМ = ВМ, МD
AK = KC,
AB,
Доказательство:
D є BC по условию, значит, ВD = AD
BD = DC,
DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC
следовательно, D – середина ВС.
б) По доказанному
ВD = AD
и
и АСD – равнобедренные, поэтому
ВАС =
1+
2=
В+
AD = DC, значит, треугольники АВD
1=
С, что и т. д.
В,
2=
С.

13.

Домашнее задание

14. Найдите Х

В
№1
30
А
О
С
Х
D

15. Найдите Х

в
С
№2
30
Х
А
О
D

16. Найдите Х

№3
D
35
В
Х
А
О
С

17. Найдите Х И Y

А
№4
Y
25
О
В
Х
Е
С

18. Найдите Х

№5
В
Х
D
40
О
А
С

19. Найдите Х

№6
С
В
D
50
Х
А
О
20
К