Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Прямая на плоскости. Кривые
Примеры
Прямые на плоскости
Угол между прямыми
Примеры
Линии второго порядка на плоскости
Линии второго порядка на плоскости.
Свойства эллипса
Гипербола
Свойства гиперболы
Парабола
Свойства параболы
4.65M
Категория: МатематикаМатематика

Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Прямая на плоскости

1. Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Прямая на плоскости. Кривые

второго порядка

2.

Опр.: Упорядоченные координатные оси, не
лежащие в одной плоскости и имеющую одну
общую точку, называются косоугольной
системой координат в пространстве.
Если координатные оси взаимно
перпендикулярны, то косоугольную систему
координат называют прямоугольной
системой координат Декарта в
пространстве и обозначают хуz.
Опр.: Множество упорядоченных троек чисел в
избранной системе координат называется
трехмерным пространством.

3.

Элементы системы координат:
z
z1
координатные плоскости Оху, Оуz,
Охz;
P(х у ; z )
1;
1
1
у1 у
х1
х
оси координат: Ох – ось абсцисс, Оу –
ось ординат; Оz – ось аппликат.
Точка О – начало координат;
упорядоченная тройка чисел (х; у; z) –
координаты произвольной точки Р.
у
у1
0
Р(х1; у1)
х1
х
Частным случаем является система
координат на плоскости, например
координатная плоскость Оху.

4.

у
Р (х1; у1)
r
φ
0
А
АОˆ Р
r ОР
Р r ;
х
Точка на плоскости может быть
задана полярной системой координат,
при этом положение точки Р
описывается углом поворота
положительной полуоси Ох против
часовой стрелки до положения луча
ОР и расстоянием точки Р от начала
координат.
Из Δ АРО, где А 90 , имеем:
0
r х 2 у 2
1
1
y1
аrctg ;
х1
х1 r cos
y1 sin
и

5. Примеры

1) Задать точку плоскости А (-1; 1) в полярных
координатах.
Решение. r=
( 1) 2 12 2 ,
аrctg ( 1) аrctg1
4
(
2
;
)
Таким образом А
4
2) Задать точку плоскости В (0,5; π/4) в декартовых
координатах.
Решение.
3
х1=0,5cosπ/6 =0,5
0,25 3
2
у1=0,5sin π/6= 0,5·1/2 .
Таким образом В (0,25 3 ; 0,25)

6. Прямые на плоскости

Прямая на координатной плоскости может быть
получена в результате пересечения произвольной
плоскости
Ах + Ву + Сz + D = 0
и координатной плоскости.
Составим уравнение прямой, принадлежащей,
например, плоскости хОу. Эта прямая определяется
системой двух уравнений:
Ах Ву Сz D 0 Ах Ву D 0
или
z 0
z 0

7.

Таким образом Ах + Ву + С = 0 (*) – общее уравнение
прямой на координатной плоскости, причем n (А; В)
является нормальным вектором этой прямой.
n
L
Опр.: геометрическое место точек, удовлетворяющее
уравнению (*), называется прямой.
х у
l : 1 - уравнение прямой в отрезках на осях
а в
у
b
а
0
L
у
L
М1(х1;у1) М2(х2;у2)
х х1
у у1
- уравнение прямой,
l:
х2 х1 у2 у1проходящей через две точки

8.

у
L
b
φ
0
х
L: у= kх+b, где k= tgφ – уравнение прямой с
угловым коэффициентом;
L: у – у1= k (х – х1) – уравнение прямой с угловым
коэффициентом, проходящей через т. М (х1; у1).

9. Угол между прямыми

Пусть прямые заданы уравнением
А1х + В1у + С1 =0 и А2х + В2у + С2 =0
Угол между этими прямыми найдем из формулы:
cоо
А1 А2 В1 В2
А В А В
2
1
2
1
2
2
2
2
Если прямые заданы уравнением с угловыми
коэффициентами, то угол между ними находим по
формуле:
k 2 k1
tg
1 k1k 2

10.

y
L2
L1
φ
0
х
Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых:
А1 В1
L1||L2, если
или k1=k2
А2 В2
L1 L2, если А1А2= -В1В2 или k1k2= -1

11. Примеры

1. Определить острый угол между прямыми у = 3х + 1 и у = -2х – 5.
Решение. Полагая k1= 3 и k2= -2 и применяя формулу (1), получим
tg = -2–3/1+(-2) 3= -5/-5= 1, т.е. = /4= 0,785 рад.
2. Показать, что прямые 7х + 3у – 5 = 0 и 14х + 6у + 1 = 0 параллельны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым
коэффициентом, получаем:
у= -7/3х+5/3 и у= -7/3х+1/14.
Угловые коэффициенты этих прямых равны: k1= k2= -7/3, т. е. прямые
параллеьны.
3. Даны вершины треугольника А (-5; 0), В (-3; -2) и С (-7; 6). Найти
уравнения высот треугольника AD, BN и CM.
Решение. По формуле (4) найдем угловой коэффициент стороны ВС:
kВС= 6+2/-7–(-3)= 8/-4= -2.
В силу перпендикулярности прямых AD и BC kAD= -1/kВС, т. е. kAD= ½.
Уравнение высоты, проведенной из вершины А будет иметь вид:
у–0= ½(х+5) или х–2у+5= 0.

12. Линии второго порядка на плоскости

13. Линии второго порядка на плоскости.

• Общее уравнение линии второго порядка на
плоскости:
• а11х2 + а22у2 + 2а12ху + а10х + а20у + а00 = 0, где
а211 + а212 + а222 ≠ 0, т. е. хотя бы одно из
чисел а11,а12,а22 не равно нулю.
• Окружностью называется геометрическое
место точек плоскости, равноудаленных от
данной точки (центра).

14.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке
М(х0;у0) и радиусом R.
( x x0 ) ( y y0 ) R
2
2
2
Уравнение окружности с центром в начале координат
x y R
2
2
2
• Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний каждой из которых до двух заданных точек этой
же плоскости, называемых фокусами, есть величина
постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

15.

F1F2 2c - фокальное расстояние, тогда фокусы будут
иметь следующие координаты: F1 ( c;0) и F2 (c;0)
r1 + r2 = 2а (const); a>c.

16.

Выразим r1 =
( x c) y,
2
2
r2 =
( x c) y , тогда
2
2
аналитическое уравнение эллипса примет вид:
( x c ) y ( x c ) y 2a
2
Обозначив a
эллипса:
2
2
2
2
c 2 b 2, получим каноническое уравнение
2
2
x
y
2 1
2
a
b

17. Свойства эллипса

1.
2.
3.
4.
Эллипс – ограниченная кривая второго порядка.
Эллипс имеет вертикальную и горизонтальную оси
симметрии, а так же центр симметрии.
А1 А2 - большая ось (ОА1 - полуось), В1 В2 – малая ось
(ОВ1 - полуось).
А1, А2, В1, В2 - вершины эллипса, причем ОВ1 в, ОА1 а
c - называется эксцентриситетом эллипса,
a
b2
1 2
a
,т.е. 0<
<1;
- характеризует: “вытянутость эллипса, т.е. отклонение
от окружности”.
=1, значит x +y = a , где а – радиус окружности
2
2
2

18.

a
5. Прямые x
называются директрисами
(направляющими)
r1
r2
т.о. имеем:
, где d1= MN1 , d 2 MN 2
d1
d2
Пример:
2
2
Дан эллипс x 25 y 25 найти полуоси, эксцентриситет,
уравнения директрис.
2
2
x
y
x 25 y 25,
1, т.о. _ а 5, в 1.
25 1
2
2
12
24 2 6
1 2
эксцентриситет
5
25
5
5
25
x
уравнения _ директрис.
2 6 /5
2 6

19. Гипербола

Определение:
Гиперболой
называется
множество точек плоскости, модуль разности
расстояний каждой из которых до двух данных
точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная.

20.

F1F2 2c, тогда фокусы будут иметь координаты F1(-c;0) и
F2(c;0).
r1 r2 2a(const ); a c.

21.

( x c) 2 y,2тогда
Выразим r1 = ( x c ) y, r2 =
аналитическое уравнение гиперболы примет вид:
2
2
( x c ) y ( x c ) y 2a
2
Обозначив a
гиперболы:
2
2
2
2
c 2 b 2 , получим каноническое уравнение
2
2
x
y
1
2
2
a
b

22.

23. Свойства гиперболы

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Гипербола – неограниченная кривая второго порядка.
Гипербола обладает центральной симметрией.
А1, А2 – действительные вершины гиперболы; ось 2а –
действительная, 2b – мнимая.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется
основным прямоугольником гиперболы. в
Гипербола имеет две асимптоты: y х
с
Эксцентриситет гиперболы: ,
а
2
a
в
причем 1 2 , т.е. _ 1
а
7.
Прямые х
а
r1 r2
причем
d1 d 2
- называется директрисами гиперболы

24.

Примеры: Дана гипербола 16х2 – 9у2 = 144, найти:
полуоси а и b; фокусы; эксцентриситет; уравнения
асимптот; уравнения директрис.
16х2 – 9у2 = 144
1. 16 x 2
9 y2
x2 y 2
1
1 a 3; b 4
144 144
9 16
2. b a c c 25 c 5; F1 (5;0) _ и _ F2 ( 5;0)
c
5
3.
a
3
2
2
2
b
4
4. y x y x
a
3
a
3
9
5. x x
5/3
5

25. Парабола

Определение:
параболой
называется
множество точек плоскости, равноудаленных
от фиксированной точки плоскости(фокус F) и
фиксированной прямой (директриса d).

26.

FА p параметр _ параболы ; MB MF
d – директриса параболы.
p
F ( ;0) фокус _ параболы
2

27.

Выразим
p
p 2
MB x , MF ( x ) y 2 ,тогда
2
2
аналитическое уравнение параболы примет вид:
p 2
p 2
2
(x ) (x ) y
2
2
таким образом получим каноническое уравнение параболы:
x 2 py или
2
y 2 px
2

28. Свойства параболы

1.
2.
Парабола – неограниченная кривая второго порядка,
расположенная в правой или верхней полуплоскости .
Парабола имеет одну ось симметрии – ось абсцисс или
ось ординат.

29.

Пример: Установить, что уравнение у2 = 4х – 8
определяет параболу, и найти координаты ее вершины А,
величину параметра р и уравнение директрисы.
1.
у2 = 4х – 8
Представим уравнение в каноническом виде: у2 = 4(х - 2)
вершина параболы смещена вдоль оси ОХ вправо на две
единицы.
А(2;0) – координаты вершины параболы.
2.
2р = 4 р = 2 – параметр параболы.
3.
p
x x 1 - уравнение директрисы параболы.
2
English     Русский Правила