Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Прямая на плоскости

1. Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Прямая на плоскости. Кривые

второго порядка

2.

Опр.: Упорядоченные координатные оси, не
лежащие в одной плоскости и имеющую одну
общую точку, называются косоугольной
системой координат в пространстве.
Если координатные оси взаимно
перпендикулярны, то косоугольную систему
координат называют прямоугольной
системой координат Декарта в
пространстве и обозначают хуz.
Опр.: Множество упорядоченных троек чисел в
избранной системе координат называется
трехмерным пространством.

3.

Элементы системы координат:
z
z1
координатные плоскости Оху, Оуz,
Охz;
P(х у ; z )
1;
1
1
у1 у
х1
х
оси координат: Ох – ось абсцисс, Оу –
ось ординат; Оz – ось аппликат.
Точка О – начало координат;
упорядоченная тройка чисел (х; у; z) –
координаты произвольной точки Р.
у
у1
0
Р(х1; у1)
х1
х
Частным случаем является система
координат на плоскости, например
координатная плоскость Оху.

4.

у
Р (х1; у1)
r
φ
0
А
АОˆ Р
r ОР
Р r ;
х
Точка на плоскости может быть
задана полярной системой координат,
при этом положение точки Р
описывается углом поворота
положительной полуоси Ох против
часовой стрелки до положения луча
ОР и расстоянием точки Р от начала
координат.
Из Δ АРО, где А 90 , имеем:
0
r х 2 у 2
1
1
y1
аrctg ;
х1
х1 r cos
y1 sin
и

5. Примеры

1) Задать точку плоскости А (-1; 1) в полярных
координатах.
Решение. r=
( 1) 2 12 2 ,
аrctg ( 1) аrctg1
4
(
2
;
)
Таким образом А
4
2) Задать точку плоскости В (0,5; π/4) в декартовых
координатах.
Решение.
3
х1=0,5cosπ/6 =0,5
0,25 3
2
у1=0,5sin π/6= 0,5·1/2 .
Таким образом В (0,25 3 ; 0,25)

6. Прямые на плоскости

Прямая на координатной плоскости может быть
получена в результате пересечения произвольной
плоскости
Ах + Ву + Сz + D = 0
и координатной плоскости.
Составим уравнение прямой, принадлежащей,
например, плоскости хОу. Эта прямая определяется
системой двух уравнений:
Ах Ву Сz D 0 Ах Ву D 0
или
z 0
z 0

7.

Таким образом Ах + Ву + С = 0 (*) – общее уравнение
прямой на координатной плоскости, причем n (А; В)
является нормальным вектором этой прямой.
n
L
Опр.: геометрическое место точек, удовлетворяющее
уравнению (*), называется прямой.
х у
l : 1 - уравнение прямой в отрезках на осях
а в
у
b
а
0
L
у
L
М1(х1;у1) М2(х2;у2)
х х1
у у1
- уравнение прямой,
l:
х2 х1 у2 у1проходящей через две точки

8.

у
L
b
φ
0
х
L: у= kх+b, где k= tgφ – уравнение прямой с
угловым коэффициентом;
L: у – у1= k (х – х1) – уравнение прямой с угловым
коэффициентом, проходящей через т. М (х1; у1).

9. Угол между прямыми

Пусть прямые заданы уравнением
А1х + В1у + С1 =0 и А2х + В2у + С2 =0
Угол между этими прямыми найдем из формулы:
cоо
А1 А2 В1 В2
А В А В
2
1
2
1
2
2
2
2
Если прямые заданы уравнением с угловыми
коэффициентами, то угол между ними находим по
формуле:
k 2 k1
tg
1 k1k 2

10.

y
L2
L1
φ
0
х
Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых:
А1 В1
L1||L2, если
или k1=k2
А2 В2
L1 L2, если А1А2= -В1В2 или k1k2= -1

11. Примеры

1. Определить острый угол между прямыми у = 3х + 1 и у = -2х – 5.
Решение. Полагая k1= 3 и k2= -2 и применяя формулу (1), получим
tg = -2–3/1+(-2) 3= -5/-5= 1, т.е. = /4= 0,785 рад.
2. Показать, что прямые 7х + 3у – 5 = 0 и 14х + 6у + 1 = 0 параллельны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым
коэффициентом, получаем:
у= -7/3х+5/3 и у= -7/3х+1/14.
Угловые коэффициенты этих прямых равны: k1= k2= -7/3, т. е. прямые
параллеьны.
3. Даны вершины треугольника А (-5; 0), В (-3; -2) и С (-7; 6). Найти
уравнения высот треугольника AD, BN и CM.
Решение. По формуле (4) найдем угловой коэффициент стороны ВС:
kВС= 6+2/-7–(-3)= 8/-4= -2.
В силу перпендикулярности прямых AD и BC kAD= -1/kВС, т. е. kAD= ½.
Уравнение высоты, проведенной из вершины А будет иметь вид:
у–0= ½(х+5) или х–2у+5= 0.

12. Линии второго порядка на плоскости

13. Линии второго порядка на плоскости.

• Общее уравнение линии второго порядка на
плоскости:
• а11х2 + а22у2 + 2а12ху + а10х + а20у + а00 = 0, где
а211 + а212 + а222 ≠ 0, т. е. хотя бы одно из
чисел а11,а12,а22 не равно нулю.
• Окружностью называется геометрическое
место точек плоскости, равноудаленных от
данной точки (центра).

14.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке
М(х0;у0) и радиусом R.
( x x0 ) ( y y0 ) R
2
2
2
Уравнение окружности с центром в начале координат
x y R
2
2
2
• Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний каждой из которых до двух заданных точек этой
же плоскости, называемых фокусами, есть величина
постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

15.

F1F2 2c - фокальное расстояние, тогда фокусы будут
иметь следующие координаты: F1 ( c;0) и F2 (c;0)
r1 + r2 = 2а (const); a>c.

16.

Выразим r1 =
( x c) y,
2
2
r2 =
( x c) y , тогда
2
2
аналитическое уравнение эллипса примет вид:
( x c ) y ( x c ) y 2a
2
Обозначив a
эллипса:
2
2
2
2
c 2 b 2, получим каноническое уравнение
2
2
x
y
2 1
2
a
b

17. Свойства эллипса

1.
2.
3.
4.
Эллипс – ограниченная кривая второго порядка.
Эллипс имеет вертикальную и горизонтальную оси
симметрии, а так же центр симметрии.
А1 А2 - большая ось (ОА1 - полуось), В1 В2 – малая ось
(ОВ1 - полуось).
А1, А2, В1, В2 - вершины эллипса, причем ОВ1 в, ОА1 а
c - называется эксцентриситетом эллипса,
a
b2
1 2
a
,т.е. 0<
<1;
- характеризует: “вытянутость эллипса, т.е. отклонение
от окружности”.
=1, значит x +y = a , где а – радиус окружности
2
2
2

18.

a
5. Прямые x
называются директрисами
(направляющими)
r1
r2
т.о. имеем:
, где d1= MN1 , d 2 MN 2
d1
d2
Пример:
2
2
Дан эллипс x 25 y 25 найти полуоси, эксцентриситет,
уравнения директрис.
2
2
x
y
x 25 y 25,
1, т.о. _ а 5, в 1.
25 1
2
2
12
24 2 6
1 2
эксцентриситет
5
25
5
5
25
x
уравнения _ директрис.
2 6 /5
2 6

19. Гипербола

Определение:
Гиперболой
называется
множество точек плоскости, модуль разности
расстояний каждой из которых до двух данных
точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная.

20.

F1F2 2c, тогда фокусы будут иметь координаты F1(-c;0) и
F2(c;0).
r1 r2 2a(const ); a c.

21.

( x c) 2 y,2тогда
Выразим r1 = ( x c ) y, r2 =
аналитическое уравнение гиперболы примет вид:
2
2
( x c ) y ( x c ) y 2a
2
Обозначив a
гиперболы:
2
2
2
2
c 2 b 2 , получим каноническое уравнение
2
2
x
y
1
2
2
a
b

22.

23. Свойства гиперболы

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Гипербола – неограниченная кривая второго порядка.
Гипербола обладает центральной симметрией.
А1, А2 – действительные вершины гиперболы; ось 2а –
действительная, 2b – мнимая.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется
основным прямоугольником гиперболы. в
Гипербола имеет две асимптоты: y х
с
Эксцентриситет гиперболы: ,
а
2
a
в
причем 1 2 , т.е. _ 1
а
7.
Прямые х
а
r1 r2
причем
d1 d 2
- называется директрисами гиперболы

24.

Примеры: Дана гипербола 16х2 – 9у2 = 144, найти:
полуоси а и b; фокусы; эксцентриситет; уравнения
асимптот; уравнения директрис.
16х2 – 9у2 = 144
1. 16 x 2
9 y2
x2 y 2
1
1 a 3; b 4
144 144
9 16
2. b a c c 25 c 5; F1 (5;0) _ и _ F2 ( 5;0)
c
5
3.
a
3
2
2
2
b
4
4. y x y x
a
3
a
3
9
5. x x
5/3
5

25. Парабола

Определение:
параболой
называется
множество точек плоскости, равноудаленных
от фиксированной точки плоскости(фокус F) и
фиксированной прямой (директриса d).

26.

FА p параметр _ параболы ; MB MF
d – директриса параболы.
p
F ( ;0) фокус _ параболы
2

27.

Выразим
p
p 2
MB x , MF ( x ) y 2 ,тогда
2
2
аналитическое уравнение параболы примет вид:
p 2
p 2
2
(x ) (x ) y
2
2
таким образом получим каноническое уравнение параболы:
x 2 py или
2
y 2 px
2

28. Свойства параболы

1.
2.
Парабола – неограниченная кривая второго порядка,
расположенная в правой или верхней полуплоскости .
Парабола имеет одну ось симметрии – ось абсцисс или
ось ординат.

29.

Пример: Установить, что уравнение у2 = 4х – 8
определяет параболу, и найти координаты ее вершины А,
величину параметра р и уравнение директрисы.
1.
у2 = 4х – 8
Представим уравнение в каноническом виде: у2 = 4(х - 2)
вершина параболы смещена вдоль оси ОХ вправо на две
единицы.
А(2;0) – координаты вершины параболы.
2.
2р = 4 р = 2 – параметр параболы.
3.
p
x x 1 - уравнение директрисы параболы.
2