Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве

1.

Элементы аналитической геометрии на
прямой, плоскости и в трехмерном
пространстве.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

1.
2.
3.
4.
Числовой осью называется прямая, на которой:
Отмечена точка, называемая началом координат (“O”);
Отмечена единичная точка (обычно Е или 1);
Зафиксировано направление от начальной точки О к единичной Е (на
рис. обозначается →);
Введена длина отрезка |ОЕ |=1.

3. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости

Зафиксируем на плоскости две
взаимно перпендикулярные
оси с общим началом в точке О
(Ox и Oy).
В этом случае говорят, что на
плоскости задана (введена)
декартова прямоугольная
система координат.
Y
My
M
О
X
Mx

4. Полярная система координат

Полярная система координат
— система координат, ставящая
в соответствие каждой точке на
плоскости пару чисел ρ и φ . Где
Координата
ρ
определяет
расстояние от точки до полюса,
координата φ— угол между
полярной осью и отрезком,
соединяющим
полюс
и
рассматриваемую точку.
M
ρ
φ
O
x

5. Связь между декартовыми и полярными координатами

Формулы перехода.
От полярной системы координат
к декартовой:
x cos ;
y sin .

6. Связь между декартовыми и полярными координатами

Формулы перехода.
От декартовой системы координат к полярной:
x2 y2 ;
sin
cos
y
x
y
x y
2
2
x
x2 y2
;
.

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение вида F(x,y)=0 есть уравнение линии на плоскости, если
координаты всех точек, лежащих на этой линии удовлетворяют этому
уравнению, а координаты точек, не лежащих на этой линии – не
удовлетворяют.
Уравнение вида F(x,y,z)=0 есть уравнение линии или поверхности в
пространстве, если координаты всех точек, лежащих на этой линии
(поверхности) удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, не
лежащих на этой линии – не удовлетворяют.

8. Прямая на плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение прямой, заданное уравнением первой степени общего вида
Ax+By+C=0, называется уравнением прямой общего вида.
Рассмотрим случаи:
В=0 → Ах+С=0 → прямая параллельная оси ОУ.
В≠0 → Ву= -Ах-С → y=kx+b уравнение прямой с угловым
коэффициентом, где k=-A/B, b=- C/B.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла, на который
нужно повернуть против часовой стрелки ось Ох вокруг начала координат
О, чтобы прямая стала параллельна этой оси.

9. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y b
tg( ) k ,
x
y kx b.
(1)
Уравнение (1) называется уравнением
прямой с угловым коэффициентом

10.

Исследуем уравнение (1).
если в=0, →у=кх - уравнение пучка прямых, проходящих через начало
координат.
если к=0, →у=в прямая параллельная оси Ох.
если к=0, в=0, →у=0 - уравнение оси Ох.

11. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (уравнение пучка прямых)

Любую прямую не параллельную оси Оу можно записать в виде
у=кх+в.
Пусть прямая проходит через точку М(х0,у0).
тогда справедливо у0=кх0+в. Вычтем у-у0=к(х-х0)

12. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

М1(х1,у1) →у-у1=к(х-х1)
М2(х2,у2) →у-у2=к(х-х2)
Поделим почленно
y y1
x x1
y 2 y1 x2 x1

13. Уравнение прямой в отрезках на осях

Ах+Ву+С=0 (2)
Если N(а,0) принадлежит прямой
→ Аа+С=0 (*)
Если M(0,в) принадлежит прямой
→ Вв+С=0 (**)
Найдем из (*) и (**) А и В
Подставив в (2) получим
x y
1
a b

14. Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки М0(х0,у0) до прямой,
заданной уравнением общего вида Ax+By+C=0
определяется по формуле:
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2

15. Угол между двумя прямыми

1 и 2
Здесь
- углы наклона прямых L1 и L2 к оси
Ox, а - один из
углов между этими прямыми. Из
рисунка видно, что
y
L2
L1
1
1
0
2
2 1
2
x

16. Угол между двумя прямыми

Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y k 1 x b1 и y = k 2 x b 2
tg tg 2 1
tg 2 tg 1
k k1
2
1 tg 1 tg 2 1 k 1 k 2
Прямые параллельны, если tg , т.е. k1=k2
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2
запишем в виде
k2
1
k1

17. Геометрическое место точек

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется множество точек,
обладающих одним и тем же свойством.
Алгоритм вывода уравнения ГТМ
Считать точку M(x,y)
ГМТ
Записать свойство, которым обладает точка M(x,y) как представитель
ГМТ
Записанное свойство представить в координатной форме и упростить .

18. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для
которых сумма расстояний от двух фиксированных точек
плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина равная
2а.
F1(c,0), F2(-c,0) – фокусы эллипса.
A1(a,0),A2(-a,0), B1(0,b), B2(0,-b) – вершины эллипса.

19. эллипс

Обозначим
F1F2=2c.
Тогда
координаты фокуса F1 будут
(с;0), а координаты фокуса F2
будут (-с;0).
Y
M (x ,y )
r2
r1
X
F 2( - c ;0 )
0
F 1( c ;0 )
Определим r1 и r2 по формулам
расстояния
между
двумя
точками
На
основании
определения
эллипса как геометрического
места точек должно выполняться
равенство:
r1+r2=2a

20. вывод канонического уравнения эллипса

r1
r2
2
x
c
y
2
2
x
+
c
y
x c
2
2
y
2
x c
2
y 2a
2
Преобразовав получим каноническое уравнение эллипса:
x 2 y2
2 1
2
a
b
b2 a 2 c 2
(2)

21. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для
которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости,
называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2a
Фокусы гиперболы обозначим через F1 и F2, а расстояние между ними через 2с

22. Гипербола

y
B1(0;b )
F 2(-c;0)
A 2(-a;0)
A 1(a;0)
KL
M
F 1(c;0)
x
B2(0;-b)
x2 y2
2 1 (каноническое уравнение гиперболы)
2
a
b
b2 c 2 a 2

23.

Асимптотами гиперболы
называются прямые, имеющие
уравнения
y
b
x
a
b
y x
a

24. Эксцентриситет эллипса и гиперболы

c e
a
Эксцентриситетом эллипса
b2
e 1 2 , где b2 a 2 c 2 .
a
называется отношение
фокусного расстояния
к длине большой оси эллипса;
Эксцентриситетом гиперболы
b2
e 1 2 , где b 2 c 2 a 2 .
a
называется отношение
фокусного расстояния к
длине ее действительной оси.

25. вывод канонического уравнения гиперболы

Y
На
основании
определения
гиперболы как геометрического
места точек на плоскости, можно
утверждать, что для всех точек
M(x,y)
r2
r1
X
F2(-c;0)
0
F1(c;0)
гиперболы и только для них,
должно выполняться равенство
r1 - r2 = 2a

26.

По формуле расстояния между двумя точками имеем:
r1
r2
x c 2 y 2 ;
x c 2 y 2 .
x с
2
y
2
x2 y2
2 1
2
a
b
x c
2
y 2 2a

27. Равнобочная гипербола

Исследуем уравнение гиперболы
x2 y2
2 1
2
a
b
В случае, когда а=b, уравнение гиперболы имеет вид:
x2 y2
2 1
2
a
a
или
х2 - у2 = а2.
Гипербола, у которой полуоси а и b равны,
называется равнобочной гиперболой.

28. Равнобочная гипербола

у`
0
x`

29. Сопряженная гипербола

Рассмотрим уравнение :
x2 y2
2 1
2
a
b
Представим уравнение в следующем виде:
y2 x2
2 1
2
b
a
Очевидно, что уравнение представляет собой
уравнение гиперболы, у которой действительной осью
является ось ординат, а мнимой - ось абсцисс.

30. Сопряженная гипербола

В1
y
x2 y2
2 1
2
a
b
x2 y2
2 1
2
a
b
A1
0
А
B2

31. Определение параболы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
К
р
2
М(х;у)
y
B
r
N
0
p
F ;0
2
x
Параболой
называется
геометрическое место точек на
плоскости, каждая из которых
равноудалена от данной точки,
называемой фокусом, и данной
прямой,
называемой
директрисой (предполагается,
что эта прямая не проходит
через фокус).
y2=2px - каноническое уравнение
параболы

32.

y
Для определения вида параболы
найдем у из канонического
уравнения параболы
М(х;у)
К
у 2рх
L
р
2
r
F
0
p
2
D
x
Директрисса параболы имеет
уравнение
p
x
2

33. Вывод уравнения параболы

Согласно определению параболы:
FM = KM
Определяя FM и КМ по
формуле расстояния между двумя
точками, получим:
2
p
F M x y2 ;
2
2
p
2
KM x y y
2
2
p
p
2
x y = x
2
2
2
p2
p2
2
x px
y
px x 2
4
4
2