Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

2.

№559

3.

№560(а)

4.

Определение: отрезок х называется средним пропорциональным
или средним геометрическим
между двумя отрезками а и в, если а : х = х : в.
Например, отрезок длиной 6 см является средним пропорциональным
между отрезками с длинами 9 см и 4 см, т.к. 9 : 6 = 6 : 4.
Равенство а : х = х : в можно записать в виде
или в виде х =
х – среднее геометрическое между а и в
х2 = а в
ав
Реши задачи:
1. Является ли отрезок длиной 8 см средним пропорциональным
между отрезками с длинами 16 см и 4 см ?
да
2. Является ли отрезок длиной 9 см средним пропорциональным
между отрезками с длинами 15 см и 6 см ?
нет
3. Является ли отрезок длиной 2 5 см средним пропорциональным
между отрезками с длинами 5 см и 4 см ?
да

5.

Важное свойство.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины
прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных
треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
С
Дано: АВС, АСВ = 900,
СН АВ.
Доказать:
А
Н
В
АСН и
АСН и
СВН и
СВН подобны,
АВС подобны,
АВС подобны.
Доказательство:
Пусть
А = , тогда
АСН = 900 - ,
В= 900 - ,
ВСН = 900 - ( 900 - ) = .
Итак, прямоугольные треугольники АСН и СВН подобны, т.к.
А=
прямоугольные треугольники АСН и АВС подобны, т.к.
А - общий,
прямоугольные треугольники СВН и АВС подобны, т.к.
В – общий.
ВСН,

6.

Свойство 1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из
вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное
между отрезками, на которые делится гипотенуза
этой высотой.
С
Дано: АВС, АСВ = 900,
СН АВ.
Доказать: СН =
А
Н
AH HB
В
Доказательство:
По доказанному АСН и СВН подобны, значит,
сходственные стороны пропорциональны:
АН
CH
CH
HB
, следовательно, СН2 = АН · НВ, т. е. СН =
AH HB

7.

Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и отрезком
гипотенузы, заключённым между катетом и высотой,
проведённой из вершины прямого угла.
С
А
Дано:
АВС,
СН АВ
АСВ = 900,
Доказать: АС =
AB AH
AB BH
В
Н
ВС =
Доказательство:
По доказанному АСН и АВС подобны, значит,
сходственные стороны пропорциональны:
Значит, АС2 = АВ · АН, т. е.
АС =
AB AH
По доказанному ВСН и АВС подобны, значит,
сходственные стороны пропорциональны:
Значит, ВС2 = АВ · ВН, т. е. ВС =
AB BH
АВ
АС
АС
АН
АВ
ВС
ВС
ВН

8. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

∆ ABC , C = 900
a , b – катеты, с – гипотенуза, h – высота,
aс– проекция катета a на гипотенузу,
bс – проекция катета b на гипотенузу.

9. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

a = c ac
h = acbc
b = c bc

10.

1.
Реши задачу
?
5
2

11.

2.
Реши задачу
9
?
4

12.

Реши задачу
3.
8
1
?

13.

Реши задачу
4.
3
4
?

14. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Задача 1
Дано: ∆ ABC, C = 900
aс = 16
bс = 25
Найти: h
Решение:
h=
h = ac bc
Ответ: h = 20
16·25 = 4·5 = 20

15. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Задача 2
Дано: ∆ ABC, C = 900
bс = 16, c = 49
Найти: b
Решение:
b = c bc
Ответ: b = 28
b =
49·16 =7·4 = 28

16. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Задача 3
Дано: ∆ ABC, C = 900
aс = 25
c = 49
Найти: а
Решение:
a = c ac
a=
Ответ: a = 35
49·25 =7·5 = 35