Диофантовы уравнения

1. Презентация на тему: “Диофантовы уравнения”.

древнегреческий математик Диофант

2. Диофа́нтово уравнение

Общий вид:
Ax + By = C,
где A, B и C — известные целые числа, а
переменные x и y — неизвестные целые
числа. Решением являются все пары
чисел x и y, которые удовлетворяют этому
уравнению.

3.

Задача
5х - 7у = 1
Решение
5х - 7у = 1
5*3 - 7*2 = 1
5х - 7у = 5*3 - 7*2
5х - 5*3 = 7у - 7*2
5(х - 3) = 7(у - 2)
у - 2 = 5k
5(х - 3) = 7*5k
х - 3 = 7k
x = 7k + 3; y = 5k + 2

4. Ответ: x = 7k + 3; y = 5k + 2.

5.

Решение для общего случая:
1) Если С не делится на НОД (|А|,|В|), то
решения нет.
2) Если С делится на НОД (|А|,|В|), то
поделим на НОД (|А|,|В|).
Получится: аx + by = с.
Предположим , что мы нашли какую-то пару
чисел (х0; у0), тогда аx0 + by0 = с.

6.

аx + by = аx0 + by0
a(x – x0) = b(y0 – y)
y0 – y = ka
a(x – x0) = bka
x – x0 = bk
x = bk + x0; y = ak + y0

7.

Ответ: x = bk + x0; y = ak + y0.

8. Благодарим за внимание!