Похожие презентации:
Лекция 6-24-25 Аналитика на плоскости
1. Математика
Лекция 6Аналитическая геометрия
2.
Линии на плоскости. Уравнения прямой на плоскостиЛиния на плоскости часто задается как множество точек,
обладающих некоторым только им присущим геометрическим
свойством.
Например, окружность – множество точек плоскости
равноудаленных от некоторой фиксированной точки О.
Уравнение линии (кривой) на плоскости: F(x, y)=0 (*).
Уравнению (*) удовлетворяют координаты (x, y) каждой точки
линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей
на этой линии.
Задача о нахождении точек пересечения двух линий сводится
к решению системы уравнений: F1 ( x, y ) 0,
F2 ( x, y ) 0.
3.
Простейшей из линий является прямая.Рассмотрим различные способы задания прямой на плоскости.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
( y y0 ) k ( x x0 ) или y kx b, (1)
где М0(х0, у0) – точка на прямой, k=tg , - угол между прямой и
положительным направлением оси Ох, b=у0 kх0, |b| - расстояние
от точки пересечения прямой и оси Оу до начала координат.
Если прямая проходит через О, то уравнение: у=kx.
Уравнение прямой, параллельной оси Ох: у= у0 (k=0).
Уравнение прямой, параллельной оси Оу: x=x0 ( = /2).
4.
2. Общее уравнение прямойРассмотрим уравнение 1 порядка: Ax+By+C=0, (2)
где A2+B 2 0.
Покажем, что это уравнение прямой.
C
Если B=0, то уравнение (2): Ax+C=0 x ( A 0).
A
Получили уравнение прямой, параллельной Оу.
A
C
Если B 0, то уравнение (2): y x уравнение с угловым
B
B
коэффициентом.
Уравнение (2) называется общим уравнением прямой (l).
5.
Замечание.Любое уравнение первого порядка на плоскости определяет
прямую и наоборот, любая прямая на плоскости определяется
уравнением первого порядка.
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Пусть M 1 ( x1 , y1 ) l , M 2 ( x2 , y2 ) l.
Возьмем произвольную точку на прямой M(x, y) и найдем
векторы M1M {x x1 , y y1}, M 1M 2 {x2 x1 , y2 y1}.
Так как M 1M M 1M 2 , то
x x1
y y1
.
x2 x1 y2 y1
(3)
6.
4. Уравнение прямой в отрезкахПусть прямая (l) отсекает на осях Ох и Оу отрезки а и b
соответственно. Тогда M 1 (a,0) l , M 2 (0, b) l.
По уравнению (3): x a y 0 x 1 y
0 a b 0
a
b
x y
или 1. (4)
a b
5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору
Пусть M ( x0 , y0 ) l , n ( A, B) l.
Возьмем произвольную точку на прямой M(x, y) и найдем вектор
M 0 M {x x0 , y y0 }.
7.
Так как M 0 M l , n l , то M 0 M n M 0 M n 0.Тогда А( x x0 ) B( y y0 ) 0. (5)
Уравнение (5) можно записать в виде Ax By C 0,
где С Аx0 By0 , т.е. уравнение (5) приводится к виду (2) .
Вектор n ( A, B) l нормальный вектор прямой.
Вектор l ( B, A) l направляющий вектор прямой.
8.
Метрические задачи аналитической геометрии на плоскостиЗадача 1. Угол между прямыми
Пусть (l1 ) : y k1 x b1 , k1 tg 1;
(l2 ) : y k2 x b2 , k2 tg 2 .
tg 2 tg 1
,
Найдем tg tg( 2 1)
1 tg 1 tg 2
т.е. tg
k2 k1
. (1)
1 k1 k2
k2 k1
.
Если нужен острый угол между прямыми, то tg
1 k1 k2
9.
Задача 2. Расстояние от точки до прямойПусть (l ) : Ax By C 0; M 0 ( x0 , y0 ) l.
Расстояние d (M 0 , l ) прn ММ 0 , где M(x, y) произвольная точка
прямой (l), n ( A, B) нормальный вектор прямой.
ММ 0 n ( x0 x) A ( y0 y ) B
Тогда d ( M 0 , l )
2
2
|n|
A B
Ax0 By0 ( Ax By )
A B
2
2
M l Ax By C
Таким образом, d ( M 0 , l )
Ax0 By0 C
A B
2
2
. (7)
Ax0 By0 C
A B
2
2
.
10.
11.
Пример. Точка A(2, 5) является вершиной квадрата, одна изсторон которого лежит на прямой х 2у 7=0. Вычислить площадь
этого квадрата. Найти уравнения прямых, на которых лежат
остальные стороны квадрата.