Неравенства с параметрами. Метод интервалов на плоскости

1.

Неравенства с
параметрами
Метод интервалов на
плоскости
Гайкович Э.Б.
ГБОУ СОШ № 4 Кусто

2.

1.РЕШИТЬ НЕРАВЕНСТВО
(х-а)(2х+а)(х-2)≥0
При решении методом интервалов:
как расположить на прямой точки а,
-а:2 и 2 ?
Какая из этих точек левее, какая
правее?
Вариантов много и надо все их
рассматривать.

3.

Попробуем поступить по
другому….
1.РЕШИТЬ НЕРАВЕНСТВО
(х-а)(2х+а)(х-2)≥0
На координатной плоскости
построим прямые а = х, а = - 2х
и х=2

4.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

5.

Нас интересуют области,
ограниченные красными прямыми.
Причем, среди них есть «хорошие»
( как в обычном методе интервалов)
и «плохие» .
Если координаты какой-то внутренней
точки области удовлетворяют данному
в
условии
неравенству,
то
и
координаты всех точек этой области
ему
удовлетворяют
и
область
«хорошая».

6.

а
Проверяем для точки
М (0;1):
(0-1)(0+1)(0-1)≥0 ВЕРНО.
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

7.

Область –
«хорошая»!
Выделим ее.
а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

8.

«Хорошие» и « плохие» области
чередуются, если соответствующие
скобки в неравенстве встречаются
НЕЧЕТНОЕ число раз.
Выделим все «хорошие» области.

9.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

10.

Итак, мы получили области,
координаты точек
которых
удовлетворяют
нашему
неравенству.
Осталось установить зависимость
между а и х, т.е ответить на вопрос :
« При каких а верно это
неравенства и какие
х соответствуют этим а.?»
Рассмотрим горизонтальную
прямую, которая двигается
снизу вверх, т.е рассмотрим а от
─∞ до ∞ .

11.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

12.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

13.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

14.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

15.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

16.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

17.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

18.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

19.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

20.

а
х=2
а=-2х
а=х
-1
-1
1
1
х

21.

ОТВЕТ:
Если а≤ -4,
то
если -4 ≤ а≤ 0, то
а≤х≤2
и х≥ -а:2,
а≤ х≤ -а:2 и х≥ 2,
если 0 ≤ а≤ 2,
то –а:2 ≤ х≤ а и х≥ 2,
если а≥2,
то –а:2 ≤ х≤ 2 и х≥ а,

22.

2.ПРИ
КАКИХ
а
НЕРАВЕНСТВО
(х-а)(2х+а)(х-2)≥0
ВЕРНО ДЛЯ ВСЕХ
3≤ х ≤ 5 ?
Выделим область,соответствующую
условию:
3≤ х ≤ 5

23.

а
х=2
а=-2х
а=х
3
-1
-1
1
1
-6
х

24.

а
х=2
а=-2х
а=х
3
-1
-1
ОТВЕТ:
-6 ≤ а≤ 3
1
1
-6
х