Метод рационализации

1.

Метод
рационализации

2.

Метод рационализации.
1. Иррациональные
неравенства.
2. Неравенства с
модулем.
4. Логарифмические
неравенства.
3. Показательные
неравенства.
5. Комбинированные
неравенства.

3.

Замена некоторых типовых выражений

4.

Некоторые следствия
(с учетом области определения неравенства)

5.

Иррациональные неравенства
2 х 12х 20 х 3х 0
2
2
На ОДЗ используем рационализацию f g 0 f g 0.
( 2 х 12 х 20) ( х 3 х) 0,
2 х 12 х 20 0,
х 3х 0
2
2
2
2
х 9 х 20 0, ( х 4)( х 5) 0, х ;4 5;
х 2 6 х 10 0, х R,
2
х( х 3) 0, х ;0 3;
х ;0 3;4 5;
Ответ: ;0 3;4 5;

6.

Иррациональные неравенства
х2 2х 1 х2 х
0
2
х х 1
На ОДЗ используем рационализацию f g 0 f g 0.
( х 2 2 х 1) ( х 2 х)
0,
2
х х 1
2
х 2 х 1 0,
х2 х 0
Ответ:
5 1 1 5 1
;
1
0
;
;
2
3 2

7.

Иррациональные неравенства
2
2
х
3х 1 2 х 2
2 х 3х 1
0
1,
2х 2 0
2х 2
На ОДЗ используем рационализацию f g 0 f g 0.
2
2 х 2 3 х 1 ( 2 х 2)
0,
2х 2
2
2 х 3 х 1 0,
2х 2 0
х 1; 1,5
Ответ: 1; 1,5

8.

Иррациональные неравенства
х 1 2 1 х
х 1 4 4х
0,
0
х 7 1
х 7 1
На ОДЗ используем рационализацию f g 0 f g 0.
2
( х 2 1) (4 4 х)
0,
2 ( х 7) 1
х 1 0,
1 х 0,
х 7 0
х 7; 6 5; 1
1
1
Ответ: 7; 6 5; 1
2

9.

Неравенства с модулем
х( х 1 2 х 1 ) 0
2
На ОДЗ используем рационализацию f
х(( х 1) (2 х 2) ) 0,
2
2
2
х(( х 2 1) (2 х 2))(( х 2 1) (2 х 2)) 0,
х( х 2 2 х 3)( х 2 2 х 1) 0,
х( х 3)( х 1)3 0
x ; 3 0;1
Ответ: ; 3 0;1
g 0 ( f g )( f g ) 0

10.

Показательные неравенства
5
х2 4
х2 4
8
х 2
0
h
h
f
g
( f g )h
На ОДЗ используем рационализацию
(5 8)( х 2 4)
3( х 2)( х 2)
( х 2)( х 2)
0,
0,
0
х 2
х 2
х 2
х 2;2 2;
Ответ: 2;2 2;

11.

Показательные неравенства
1
3
х 2 2 х 5
9
х2 х 2
1
2 х х
3
3
0,
х 2 2 х 5
6 х 2 6 х 4
1
2
На ОДЗ используем рационализацию
f
g
h h 0 (h 1)( f g ) 0
0,25
3 х 2 3 х 2
8
2
3
2 х 2 2 х 4
1
2
6 х 2 3 х 1
0,
1
( х 1)( х )
3х 4 х 1
х 2 2 х 5 (2 х 2 2 х 4)
3 0
0
,
0
,
( х 1)
3х 3
6 х 2 6 х 4 (6 х 2 3х 1)
2
х
1
3
Ответ:
х
1
3

12.

Показательные неравенства
х 16
4
4 2
8 х
2
8
х
0,
( х 4)( х 4)
2
2
10 х
2
2
2
3х
0
На ОДЗ используем рационализацию
f
g
h h 0 (h 1)( f g ) 0
( х 2)( х 2)( х 2 4)
( х 2)( х 2)( х 2 4)
0,
0
2
(10 х ) 3х
( х 2)( х 5)
х ; 5 2;2 2;
Ответ: ; 5 2;2 2;

13.

Логарифмические неравенства
log x2 ( x 4) log x2 (2x 3) 0
На ОДЗ используем рационализацию
2
log h f log h g 0 (h 1)( f g ) 0
( х 2 1)( х 2 2 х 1) 0 ,
х 0,
х 1,
х 2 4 0,
1
х
1
2
2
2
2
( х 1)( х 2 х 1) 0,( х 1)( х 1)( х 1) 0,( х 1)( х 1)3 0, х ; 1 1;
х2 4 0,х R
( х 2 1)( х 2 4 (2 х 3)) 0 ,
2
х 0 ,
2
х 1,
х 2 4 0,
2 х 3 0
1
х 1 ; 1 1;
2
1
1 ; 1 1;
2
Ответ:

14.

Логарифмические неравенства
log x 2 7 x log x2 7 x
( x 3)(2 14 x)
0
На ОДЗ используем рационализацию
log h f log h g 0 (h 1)( f g ) 0
( х 2 1)( х 2 1)(7 х 1)( х 2 ( х 2))
0,
( х 3)( 2 х 14)
х 2 0,
х 2 1,
х 2 0,
2
х 1,
7x 0
х 2;3 3;
Ответ: 2;3 3;
1
7
(
х
3
)(
х
1
)(
х
1
)(
х
)
7 0,
1
7( х 3)( х )
7
х 2,
х 3,
х 0,
х 1,
x 0

15.

Логарифмические неравенства
log x2 х ( x 2 2х 1) 1
На ОДЗ используем рационализацию
log h f log h g 0 (h 1)( f g ) 0
( x 2 х 1)( x 2 2 х 1 ( x 2 х)) 0,
2
x х 0,
2
x х 1,
x 2 2 х 1 0
5 1 1 5 1
х
; 1 0;
;1 1;
2
3 2
Ответ:
5 1 1 5 1
; 1 0;
;1 1;
2
3 2

16.

Логарифмические неравенства
log 2 3x 2
0.
log 2 2 x 3
На ОДЗ используем рационализацию
log a f 0 (a 1)( f 1) 0
3 x 1
2 x 2 0,
3 x 2 0,
2 x 3 0
2
1
x .
3
3
Ответ:
2
1
x .
3
3

17.

Логарифмические неравенства
log 2 x 13x 20 log
log 2 2 x 2 13x 20 1
0,
log x 7
log 3 x 7
2
2
3
На ОДЗ используем рационализацию
log a f 0 (a 1)( f 1) 0
2 x 2 13x 20 2
0,
x 7 1
x 7 0,
2 x 2 13x 20 0
9
x
2
x
2
0,
2 x 6
x 7,
2 x 4 x 5 0
2
х 7; 6 2;2,5 4;4,5
Ответ: 7; 6 2;2,5 4;4,5
2
2
0

18.

Логарифмические неравенства
log 2 x ( х 2) log x 3 (3 х) 0
На ОДЗ используем рационализацию
log h f log p g 0 (h 1)( f 1)( p 1)( g 1) 0.
(2 х 1)( х 2 1)( х 3 1)(3 х 1) 0, ( х 1)( х 1)( х 2)( х 2) 0,
2 х 0,
х 2
2 х 1,
х 1,
х
2
0
,
х 2,
х 3 0,
х 3,
х 3 1,
х 2,
3 х 0
х 3
х 2; 1 1;2
Ответ: 2; 1 1;2

19.

Логарифмические неравенства
log 3 10 x 3 log 3 3x 10
0
log 3 10 х log 3 х
На ОДЗ используем рационализацию
log f h log g h 0 ( f 1)( g 1)( h 1)( g f ) 0
10 x 3 1 3 x 10 1
0,
10 x 2 3 x 9
0,
10 х 1 ( х 1)
10 x 3 0,
3 x 10 0,
10 х 0,
х 0
1
х 0; 1;
10 1
Ответ: 0; 1;
10
10 х 1 ( х 1)
х 0

20.

Логарифмические неравенства
log
(4 7 х 2 х ) 2
2
х 2
log х 2 (4 7 х 2 х 2 ) log х 2 ( х 2) 2 0
На ОДЗ используем рационализации
log h f log h g 0 (h 1)( f g ) 0
f g 0 ( f g )( f g ) 0
2
2
((
х
2
)
1
)(
3
х
3х) 0,
( х 2 1)( 4 7 х 2 х х 4 х 4) 0,
2
2( х 0,5)( х 4) 0,
4 7 х 2 х 0,
х 2
х 2 0
2
х 0,5;0 1;4
Ответ: 0,5;0 1;4
2

21.

Комбинированные неравенства
log 2 (3 2
x
x 1
1)
x 1
1,
log 2 (3 2 1) x
0
x
На ОДЗ используем рационализацию
log a f log a g 0 (a 1)( f g ) 0
(3 2 1) 2
0,
x
3 2 x 1 1 0
x 1
x
2
х log 2 ;0 1;
3
Ответ:
2
log 2 ;0 1;
3
2x 2
x 0,
2 x 2
3
х 0,
х 1
х log 2
2
3

22.

Комбинированные неравенства
log x log 2 (4 6) 1,
х
log x log 2 (4 х 6) 1 0
На ОДЗ используем рационализацию
log h f 1 0 (h 1)( f h) 0
( х 1)(log 2 (4 х 6) х) 0, ( х 1)(log 2 (4 х 6) log 2 2 х ) 0, ( х 1)( 2 2 х 2 х 6) 0,
х
0
,
х 0,
х 0,
х 1,
х 1,
х 1,
4 х 6 1
log (4 х 6) 0,
х log 2 7
х
2
4 6
4 х 6 0
х log 2 3;
Ответ: log 2 3;