Метод рационализации при решении неравенств. Урок повторения по алгебре в 11 профильном классе

1. Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей № 6 городского округа Тольятти

Метод рационализации при
решении неравенств
урок повторения по алгебре
в 11 профильном классе
Подготовила
Овчинникова Наталья Александровна,
учитель математики высшей категории
МБУ лицея №6 г. о. Тольятти

2. Метод рационализации неравенств известен около 50 лет, встречался под названиями: - метод декомпозиции; - метод замены

множителей;
- обобщение метода интервалов

3. Данный метод позволяет с помощью условий равносильности сводить решение целых классов сложных неравенств к решению простых

рациональных неравенств
классическим методом интервалов.

4.

Идея метода рационализации
состоит в использовании свойств
монотонной функции.
Доказательства равносильных переходов
приведены в пособии:
МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2014.
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ (типовые задания С3)
Прокофьев А.А., Корянов А.Г.

5. http://alexlarin.net/ege/2014/C3-2014.pdf

6. Суть метода рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете,

рациональное),
при которой неравенство G(x) 0
равносильно неравенству F(x) 0
в области определения выражения
F(x).
где
- один из знаков <, >, ≤, ≥

7.

Метод рационализации используют и
при решении неравенств вида:
f1 ( x) f 2 ( x) ... f k ( x)
F ( x)
0
g1 ( x) g 2 ( x) ... g l ( x)
Любой из множителей можно заменять
на совпадающий с ним по знаку

8.

Таблица замены множителей
№
Выражение F
1.
log h f log h g
2.
log h f log p g 0
Выражение G
h 1 f g 0
h 1 f 1 p 1 g 1 0
3.
4.
5.
h h
f
g
f g
f g
h 1 f g 0
f g
f g f g 0
- один из знаков <, >, ≤, ≥

9.

Пример 1
log 5 x
x 2
4
4
x 5
5 х 0
5 x 1
х 2 0
5 x 1 x 2 1 0
log 5 x x 2 4 4
log 5 x x 2 0
Ответ : 1;4

10.

Пример 2
log x 3 x log x 4 x log x x 7 x 12 1 0
2
Решение :
log x 3 x log x 4 x log x 3 x log x 4 x 1 0
log x 3 x 1 log x 4 x 1 0
х 0
x 1
3 x 0
x 1 2 3 x 1 4 x 1 0
Ответ : 0;1 1;1,5 2;3

11.

Пример 3
log 2 x 2 x 3 x 1 log 2 x x 2 3 2 x 0
2 x 2 x 0
2
2 x x 1
3 x 1 0
2
2
x
x
0
2 x x 2 1
3 2 x 0
2
2
(
2
x
x
1
)(
3
x
1
1
)(
2
x
x
1)( 3 2 x 1) 0
2
Ответ : ;1 1;1,5
3

12.

Пример 4
log x 2 4 7 x 2 x 2
2
x 2 0
x 2 1
2
4 7 x 2 x 0
x 2 1 4 7 x 2 x 2 ( x 2) 2 0

13.

х 2, х 1, х 3
0,5 х 4
x 2 1 x 2 1 3x 3x 2 0
0,5 х 4
3х х 1 х 3 х 1 0
Ответ : 0,5;0 1;4

14.

Пример 5
log 4 х2 12х 8 4 х 5 0
Заменим данное неравенство равносильной системой,
используя метод рационализации:
( 4 x 2 12 x 8 1)( 4 x 5 1) 0
4 x 2 12 x 8 0
2
4 x 12 x 8 1
4 x 5 0
(2 x 3) 2 (( 4 x 5) 2 1) 0
( x 1)( x 2) 0
5
3
x , x
4
2

15.

Окончательно получаем, что решением являются все х такие,
что
5 5 3
х 1; ;
4 4 2
Ответ:
5 5 3
х 1; ;
4 4 2

16.

Пример 6
x
2
2 x 2
2 x 2 x 1
x 2 x 2
2
9 x 2
x 2x 2 0
2
2
2
x 2 x 2 1 2 x x 1 9 x 0
2
Ответ : 3; 1 3 1;2

17.

Пример 7
Для каждого значения параметра а
найти решения неравенства
x
sin x
a
sin x
log a x x log a x
,
x
a
удовлетворяющие условию
Решение:
x
2

18.

x
sin x
a
sin x
log a x x log a x
x
a
0 x
2
a 0, a 1
sin x
a
sin x
x log a x x log a a log a x x 0
x
sin x
log a x x x log a x x
a
a
sin x
log a x 1 x x 0
a 1 x a x 1 sin x a 0
sin x
a
0

19. Список используемых источников: 1. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Материала курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции

1 – 4 . М.: Педагогический
университет «Первое сентября», 2012
https://edu.1september.ru/distance/

20. Список используемых источников: 2. Коропец З.Л. , Коропец А.А. , Алексеева Т.А. Математика. Нестандартные методы решения

неравенств и их систем.
Орел, 2012
3. Прокофьев А.А. Корянов А.Г.
Математика ЕГЭ 2014.
Решение неравенств с одной
переменной (типовые задания С3)
http://alexlarin.net/ege/2014/C3-2014.pdf