Аналогия методов решения геометрических задач на плоскости и в пространстве

1.

Аналогия методов решения
геометрических задач на
плоскости и в пространстве
Аничкина Валентина Викторовна
учитель Сытьковской общеобразовательной
школы

2.

.
Метод дополнительных построений
.
(планиметрия
)
Боковая сторона АВ трапеции АBCD равна l, а расстояние от середины
CD до прямой AB равно m. Найти площадь трапеции АВСД .
Достроим трапецию АВСД, продолжив АК до пересечения с ВС.
Рассмотрим подобные треугольники АМК и АВF. КН перпендикулярна
.
АВ, значит КН=m. SАМК= 1 lm .Треугольники СFК и ДАК равны ( по
2 2
второму признаку). SАBF=lm .
S
АВСД =
SАВF .
Ответ:
S
АВСД
= lm.
S ABK
lm
2

3.

Метод дополнительных
построений(стереометрия)
В треугольной пирамиде РАВС все плоские углы при вершине Р
прямые. Найдите площадь сферы, описанной около этой пирамиды,
если РА = 2, РВ = 3, РС = 4.
Достроим данную пирамиду до прямоугольного параллелепипеда (рис. 9). Как
известно, его диагонали равны и имеют общую середину O. Точка O равноудалена от
вершин параллелепипеда и, следовательно, является центром его описанной сферы,
которая, разумеется, будет и описанной сферой пирамиды. Следовательно, радиус R
сферы равен половине диагонали d параллелепипеда, а ее площадь равна

4.

Метод площадей( планиметрия)
В треугольнике АВС, площадь которого равна S, биссектриса СЕ и
медиана BD пересекаются в точке F. Найдите площадь
четырехугольника ADFE, если ВС= а, АС= b.
(отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, равно
отношению сторон, к которым эти высоты проведены).
Медиана ВD делит треугольник на два равновеликих треугольника АВD и ВDС.
Sb
BF
a
2 a SBFC
Применить свойство биссектрисы
=
=
=
. SDFС= 2(2a b) в этом
FD b / 2
b
SDFC
отношении . Аналогично предыдущему пункту найти площадь треугольника АСЕ.
SACE= Sb . Площадь ADFE найти как разность площадей треугольников ACE и
b a
CFD.
Ответ:
b(3a b)
2(2a b)(b a)

5.

Метод объемов(стереометрия)
Дан конус с вершиной M, радиус основания которого равен 6. На окружности его
основания выбраны точки A, B, C так, что углы BMA, AMC, CMB равны 90° каждый.
Точка F выбрана на дуге BC окружности основания конуса, не содержащей точки A,
так, что объем пирамиды MABFC наибольший. Найдите расстояние от точки F до
плоскости
МАВ.
Пирамида MABC правильная (рис. 11), а F — середина дуги BC . Искомое расстояние hF —
это высота пирамиды MABF, опущенная на грань ABM.
Высоту hC пирамиды MABC, опущенную
на ту же грань, легко найти — она совпадает с
BC
OB
ребром CM и равна hc=
= 3*
= 3 6
2
2
Находим отношение hF : hC, а оно равно отношению объемов пирамид. Имеем:
h F VFABM
SABF
=
=
=
SABC
h C VCABM
2
3

6.

Алгебраический метод(планиметрия)
Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3, ВС=4, а медианы,
проведенные из вершин А и В, перпендикулярны.
Точка О – точка пересечения медиан. Рассмотреть подобие треугольников
1
А1ОВ1 и АОВ с коэффициентом подобия . Обозначить А1О=х, В1О=у.
2
A1B1 = OB1 = OA1 = 1 . Применим теорему Пифагора для треугольников А ОВ
1
2
OB
OA
AB
и В1ОА. Из полученной системы найти х и у.
А1В² =А1О² + ВО² , АВ1²= АО² + В1О²,
2² =х² + ВО² , 1,5² = y² + АО² ,
11
1
х²= , y²=
. Подставив найденные выражения ,
12
3
Вычислим АВ . АВ=
формуле Герона:
5 .Находим площадь треугольника
S= p( p a)( p b)( p c)
S= 11
по

7.

Алгебраический метод(стереометрия)
В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, найдите:
а) расстояние от вершины А1 до плоскости ВС1D;
б) угол между диагональю ВА1 грани АА1В1В и плоскостью ВС1D
Рассмотрим тетраэдр A1BC1D (рис. 5). Все его ребра — диагонали граней куба (они равны ), то
есть этот тетраэдр правильный. Расстояние от его вершины A1 до грани BC1D есть его высота,
и найти ее можно через объем. Тетраэдр получается в результате отрезания от куба
плоскостями его граней четырех равных «прямоугольных» тетраэдров. Возьмем один из них,
например, ABDA1. Площадь его основания ABD вдвое меньше площади грани куба, а высота
равна высоте куба, поэтому его объем в 6 раз меньше объема куба
VABDA1 =
1
6
Vêóáà , V; À ÂÑ D
1
1
= (1 - 4 )
6
Vêóáà = 2163
Площадь S равностороннего треугольника BDC1 равна
Следовательно искомое расстояние равно
3V
=4 3
S
=72
3
4
(6 2 )²=18 3

8.

б) Если из точки P проведены к некоторой плоскости
наклонная длины l и перпендикуляр h (рис. 6), то угол a между
h
наклонной и плоскостью можно найти по формуле sin а= .
l
В нашей задаче l=ВА1= 6 2 , h= 4 3
а=arcsin 4 3 =arcsin 2
6 2
3

9.

Спасибо за внимание