Квантовые эффекты в нелинейных системах

1.

Квантовые эффекты
в нелинейных системах
К.Н. Югай

2.

Туннельный переход
S
I
S
2

3.

Джозефсоновский переход
(x
)
sin
(x
)
,
xx
(
x
)
|
(
x
)
|
x
x
0
x
H
,
0
x
L
3

4.

Распределение магнитного поля в переходе
при Но=2,035, β=0, L=5.
Но
х
4

5.

Распределение магнитного поля в переходе при
Но=2,035, β=0, L=8
3
Но
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
х
5

6.

Распределение магнитного поля в переходе при
Но=1,5, β=0, L=5
2.5
Но
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
х
6

7.

Распределение тока при Н0=1,174, =0 и L=8 для
мейсснеровского, однофлуксонного и
двухфлуксонного состояний
2f
1
J
M
0.8
1f
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
8
7

8.

Распределение магнитного поля при Н0=1,174,
=0 и L=8 для мейсснеровского,
однофлуксонного и двухфлуксонного состояний
2.5
10(1f)
H
12(2f)
2
1.5
1
0.5
0
8(M
)
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
X
8

9.

Бифуркационные кривые
М-мейсснеровское состояние, 1f – однофлуксонное состояние,
2f – двухфлуксонное состояние. Длина перехода L=5
Число стабильных состояний указано в скобках
1,0
0,8
0,6
0,4
4(1):1f
4(1):M
0,2
4(2):1f,2f
4(2):M,1f
2(1):1f
0,0
0
2
4
6
8
10
6(2):M,1f
9

10.

Асимптотические состояния и
«эффект бабочки Брэдбери»
(
x
,
t
)
2
(
x
,
t
)
(
x
,
t
)
sin
(
x
,
t
)
,
tt
t
xx
t
/
2
t
0
(
x
,
t
)
|
H
(
0
,
t
)
(
x
,
t
)
|
H
(
L
,
t
)
H
(
1
ae
co
0
.
5
t
)
,
x x
0
x x
L
0
Таблица
1.
Параметр а
0
0,175
0,180
0,190
Характер
асимптотического
состояния
ch
ch
ch
s
0.195
0.280
0.285
0.290
0.300
0.320
s
ch
s
r
r
r
10

11.

Асимптотические состояния и
«эффект бабочки Брэдбери»
11

12.

Показатель Ляпунова
Неустойчивость состояний определялась следующим образом:
нестационарное уравнение sin-Гордона линеаризовалось в окрестности
стационарного решения: (x,t) = (x) + (x,t), где (x,t) – малое
возмущение. Уравнение для (x,t) – линеаризованное уравнение
sin-Гордона (1), решается затем с помощью разложения этой функции по
полной системе собственных функций оператора Шредингера с
t
n
потенциалом cos[ (x)]:
x
,t e
u(x
),
n
n
где un(x) – собственные функции оператора Шредингера:
u
(
x
)
u
(
x
)
cos
(
x
)
Eu
(
x
)
,
xx
u
(
x
)
|
u
(
x
)
|
0
.
x
x
0
x
x
L
2
E
n
n,
где - коэффициент диссипации в уравнении sin-Гордона. При n < 0
решение (x) - устойчиво, а при n > 0 оно неустойчиво.
12

13.

Потенциал Гиббса и переходы между состояниями
1
2
G
dx
(
x
)
1
cos
(
x
)
(
x
)
H
(
x
)
.
x
0
x
2
0
L
Переходы между состояниями при H0=1,9; =0; L=10. Здесь устойчивое
состояние 6 – мейсснеровское, 8 – 1-флуксонное, 10 – 2-флуксонное, 12 – 3флуксонное
13

14.

Область сосуществования стационарных и
нестационарных состояний и динамический хаос
L=5, =0.13
L=8, =0.13
Кривые 1 и 2 – бифуркационные кривые, соответствующие стационарным и
нестационарным состояниям в ДДП соответственно
14

15.

Области динамического хаоса
L=8, а=0, γ=0,13
L=10, а=0, γ=0,13
15

16.

Квантование потока в стационарных состояниях
(х)|x - = 0, (х)|x + = 2
1
1
(
x
)
dx
(
)
(
)
1
.
x
2
2
Теорема:
x
2
1
1
(
x
)
dx
(
x
)
(
x
)
,
x
2
1
n
2
2
x
1
где Фn = n (n=0,1,2,...)
n=0 для мейсснеровских и квазимейсснеровских
состояний,
n>0 для флуксонных и антифлуксонных состояний ,
Фn = n+1/2 arcsin (n=0,1,2,...) – для всех
остальных состояний
16

17.

Квантование потока в стационарных состояниях
Мейсснеровское состояние n=0 при = 0.45, Н0 = 1.256, а = 3.0, =0.26 и L=10
17

18.

Квантование потока в стационарных состояниях
Двухфлуксонное состояние n=2 при = 0.08, Н0 = 2.0, а = 2.0, =0.26 и L=10
18

19.

Квантование потока в нестационарных состояниях
x
(
t
)
2
1
1
(
t
)
(
x
,
t
)
dx
(
x
,
t
)
(
x
,
t
)
(
t
)
,
x
2
1
n
2
2
x
(
t
)
1
где Фn(t) = n(t) (n=0,1,2,...)
n=0 для мейсснеровских и квазимейсснеровских состояний;
n 0 для флуксонных и антифлуксонных состояний;
Фn(t) = n(t)+1/2 arcsin (n=0,1,2,...) – для всех остальных состояний.
=0.1,
= 0.125, Н0 = 1.917, L=10
и а=1.4
19

20.

Квантование потока в нестационарных
состояниях
Зависимость магнитного потока от времени в хаотическом режиме при =0.12,
= 0.38, Н0 = 1.41, L=6 и а=0.0
20

21.

А. Эйнштейн:
Я не верю, что Господь Бог
играет в кости!

22.

Литература
1. Yugay K.N., et al. Phys. Rev. B, 49, 12036 (1994).
2. Yugay K.N., et al. Phys. Rev. B, 51, 12737 (1995).
3. Н.В.Блинов, И.В.Широков, К.Н.Югай. Вестник Омского универ., №2, 29
(1998).
4. Yugay K.N., et al. Low Temp. Phys., 25, 530 (1999).
5. Yugay K.N., et al. Low Temp. Phys., 26, 1067 (2000).
6. Югай К.Н., et al. Известия вузов. Прикладная и нелинейная динамика,
9, 51 (2001).
7. Югай К.Н., et al. Вестник Омского универ., №2, 22 (2001).
8. Yugay K.N. et al. JKPS, 46, 1418 (2005).
9. Yugay K.N. et al. J. Superconductivity Nov. Magn., 19, 135 (2006).
22

23.

Спасибо за внимание
23