Признаки параллельности двух прямых

1.

Признаки параллельности двух
прямых.

2.

Параллельные прямые
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не
пересекаются.
Параллельные прямые имеют своё обозначение: a ║ b.

3.

• Рассмотрим прямую с, пересекающую прямые
а и b.
• Прямая c называется секущей по отношению к
прямым a и b, если она пересекает каждую из
них.
• Как видно из рисунка, при пересечении
прямых а и b секущей c образуются 8 углов.
Пронумеруем полученные углы.
• Некоторые пары образованных углов имеют
свои названия.
• Углы 3 и 5, 4 и 6 - называются накрест
лежащие углы.
• Углы 4 и 5 или 3 и 6 - называются
односторонними углами.
• Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6 или 3 и 7 - называются
соответственными углами.

4.

Теорема 1.
Если при пересечении двух прямых секущей, накрест
лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠
2 накрест лежащие.
Доказать: a║b.
Доказательство:
1 случай:
∠1 = ∠2 = 90°
В этом случае две прямые, перпендикулярные к
третьей не пересекаются, т. е. параллельны.

5.

2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°
1) Из середины O отрезка AB проведём
перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от
точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и
проведем отрезок OH1.
2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH1 по
построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA =
ΔOH1B по первому признаку равенства
треугольников.
Далее следует из равенства треугольников: ∠3 =
∠4 и ∠5 = ∠6.
3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка
H1 лежит на продолжении луча OH. Это значит, что
точки H1, O, H лежат на одной прямой.
4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это
значит, что прямые a и b перпендикулярны к
третьей НН1, а значит, по теореме о двух прямых,
перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т.
е. параллельны.

6.

Теорема 2.
Если при пересечении двух прямых секущей,
соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 =
∠2 соответственные.
Доказать: a ║b.
Доказательство:
∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по
свойству вертикальных углов.
Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие
углы, следовательно, a║b по теореме 1.

7.

Теорема 3.
Если при пересечении двух прямых секущей, сумма
односторонних углов равна 180°, то прямые
параллельны.
Дано:
Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 =
180° - односторонние.
Доказать: a║b.
Доказательство
∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных
углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.
∠1 + ∠2 = 180° по условию, откуда ∠1 =
180° – ∠2.
Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы,
следовательно, a║b по теореме 1.

8.

Задача 1
Дано: ∠1= 60°, ∠2 = 120°.
Докажите: a║b
Решение:
∠2 и ∠3 смежные, ∠3 = 180° – 120° = 60° по
свойству смежных углов;
∠3 = ∠1, это накрест лежащие углы;
Значит, прямые a и b параллельны по 1 признаку
параллельности прямых.
Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку
параллельности прямых.

9.

Задача 2
Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD –
биссектриса ∠BCK.
Докажите: AB ║ CD.
Доказательство:
∠A = ∠C = 60° – углы при основании
равнобедренного Δ–ка равны.
∠BCK и ∠С смежные. ∠BCK = 180° – 60°= 120° – по
свойству смежных углов.
∠BCD = ∠CDK = 60° т. к. CD – биссектриса делит угол
пополам.
Значит, ∠A = ∠DCK = 60° - соответственные,
следовательно, AB║CD по 2 признаку
параллельности прямых.
Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности
прямых.

10.

Задача 3
Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и
секущей на 40 меньше другого. Найдите меньший угол.
Решение:
Пусть х – меньший из односторонних углов, тогда больший равен
х + 40. Т. к. прямые параллельны, то сумма односторонних углов
равна 180°, составим уравнение.
• х + х + 40 = 180
• 2х + 40 = 180
• 2х = 180 – 40
• х = 140:2
• х = 70° – градусная мера меньшего угла.
• Ответ: 70°.

11.

Задача 4
По данным рисунка докажите, что АВ DE

12.

Задание 1
Выберите верное продолжение определения.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они

13.

Задание 2
На рисунке ∠1 = 100°. Заполните на основании рисунка пропуски в
тексте.

14.

Задание 3
Подставьте названия углов к соответствующим изображениям.

15.

Задание 4
Отметьте, на каких рисунках представлены пары параллельных прямых

16.

Задание 5
Посмотрите на рисунок. Подчеркните верное утверждение.

17.

Задание 6
Установите параллельны прямые или нет тремя различными способами
1
2
3

18.

Домашнее задание:
Выучить формулировку теоремы § 1, п.24, 25
Выполнить № 186 (а, б), 189 стр. 56

19.

Использованные источники:
• https://resh.edu.ru/subject/lesson/7298/conspect/249804/
• https://skysmart.ru/articles/mathematic/parallelnost-pryamyh
• https://uchitel.pro/параллельные-прямые/
• https://foxford.ru/wiki/matematika/priznaki-parallelnosti-pryamyh
• https://www.evkova.org/parallelnyie-pryamyie