Эллипсоид
ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА
ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА
ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДВУПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА
ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА
ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА
Цилиндры
Классификация цилиндрических поверхностей второго порядка
Конические поверхности 2-го порядка
ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОНУСА
3.21M
Категория: МатематикаМатематика

Поверхности второго порядка

1.

Поверхности второго порядка

2.

Определение
Уравнением поверхности в некоторой
аффинной системе координат в
пространстве называется уравнение вида,
F x, y, z 0
которому удовлетворяют координаты
любой точки поверхности и не
удовлетворяют координаты ни одной
точки, не принадлежащей этой
поверхности

3.

Поверхностью второго порядка
называется множество всех точек пространства,
координаты которых в какой-либо аффинной
системе координат удовлетворяют уравнению
второй степени
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+
+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 ,
где не все коэффициенты при членах второй
степени равны нулю.

4.

не вырожденные поверхности
• эллипсоиды,
• гиперболоиды,
• параболоиды,
• конусы
• цилиндры.

5.

Будем рассматривать основные типы
поверхностей, используя их простейшие
канонические уравнения.
Для изучения формы поверхности применим
метод сечений.
Пусть поверхность S задана в прямоугольной
системе координат. Пересечем поверхность
плоскостями, параллельными координатным
плоскостям (или самими координатными
плоскостями), и найдем линии пересечения
поверхности с этими плоскостями.
По виду этих линий и выносится суждение о
форме поверхности S.

6. Эллипсоид

Определение
Эллипсоидом называется поверхность второго
порядка, которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется уравнением
2
2
2
x
y
z
2 2 1
2
a
b
c

7. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА

1)
Сечения плоскостями x = h:
x2 y2 z 2
2 2 2 1,
a
b
c
x h .
y2 z2
h2
2 1 2 .
2
b
c
a
Это уравнение определяет
а) при | h | < a – эллипс (причем, чем больше | h |,
тем меньше полуоси эллипса);
б) при | h | = a – точку A2,1( a; 0; 0);
в) при | h | > a – мнимую кривую.

8.

3) Сечения плоскостями y = h:
x2 y2 z 2
2 2 2 1,
a
b
c
y h .
2
2
2
x z
h
2 2 1 2 .
a c
b
Это уравнение определяет
а) при | h | < b – эллипс (причем, чем больше | h |,
тем меньше полуоси эллипса);
б) при | h | = b – точку B2,1(0; b; 0);
в) при | h | > b – мнимую кривую.

9.

3) Сечения плоскостями z = h:
x2 y2 z 2
2 2 2 1,
a
b
c
z h .
2
2
2
x y
h
2 2 1 2 .
a b
c
Это уравнение определяет
а) при | h | < c – эллипс (причем, чем больше | h |,
тем меньше полуоси эллипса);
б) при | h | = c – точку C2,1(0; 0; c);
в) при | h | > c – мнимую кривую.

10.

z
C2
A1
B1
x
A2
B2
y
C1
Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.
Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным.
Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является
поверхностью вращения. Он получается в результате
вращения эллипса вокруг одной из своих осей.
Эллипсоид есть сфера при a b c

11.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Однополостным гиперболоидом называется поверхность
второго порядка, которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется уравнением
x2 y 2 z 2
2 2 1,
2
a
b
c
где a, b, c – положительные константы.

12. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА

1) Сечения плоскостями x = h:
x2 y 2 z 2
2 2 2 1,
a
b
c
x h .
y2 z2
h2
2 1 2 .
2
b
c
a
Это уравнение определяет
а) при | h | < a – гиперболу, с действительной осью || Oy;
б) при | h | > a – гиперболу, с действительной осью || Oz;
в) при | h | = a – пару прямых.

13.

3) Сечения плоскостями y = h:
x2 y 2 z 2
2 2 2 1,
a
b
c
y h .
x2 z 2
h2
1
.
2
2
2
a
c
b
Это уравнение определяет
а) при | h | < b – гиперболу, с действительной осью || Ox;
б) при | h | > b – гиперболу, с действительной осью || Oz;
в) при | h | = b – пару прямых.

14.

3) Сечения плоскостями z = h:
x2 y 2 z 2
2 2 2 1,
a
b
c
z h .
2
2
2
x
y
h
2 1 2 .
2
a
b
c
Это уравнение определяет эллипс при любом h.
При h = 0 полуоси эллипса будут наименьшими.
Этот эллипс называют горловым эллипсом
однополостного гиперболоида.

15.

z
Величины a, b и c называются
полуосями однополостного гиперболоида.
a
x
b
Если a = b, то однополостный
y гиперболоид является поверхностью
вращения. Он получается в результате вращения вокруг своей мнимой
оси гиперболы
y2 z2
2 1
2
b
c

16.

Замечание.
Уравнения
2
2
2
x
y
z
2 2 1,
2
a
b
c
2
2
2
x
y
z
2 2 2 1
a
b
c
определяют однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты»
вдоль оси Oy и Ox соответственно.
Замечание
Однополостный гиперболоид имеет центр симметрии
O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.

17.

Шуховская башня
расположена в Москве на улице Шаболовка, построена в 1919—
1922г. русским архитектором Владимиром Григорьевичем
Шуховым.
По форме секции башни — это
однополостные гиперболоиды
вращения, сделанные из прямых
балок, упирающихся концами в
кольцевые основания.
Такие конструкции часто
употребляются для устройства
высоких радиомачт, водонапорных
башен поскольку обеспечивают
минимальную ветровую нагрузку.

18.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность
второго порядка, которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется уравнением
x2 y2 z 2
2 2 1 ,
2
a
b
c
где a, b, c – положительные константы.

19. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДВУПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА

1)
Сечения плоскостями x = h:
x2 y 2 z 2
2 2 2 1,
a
b
c
x h .
2
2
2
y
z
h
1
.
b2 c2
a2
При любом
h это уравнение определяет гиперболу, с
действительной осью || Oz.

20.

2) Сечения плоскостями
y = h:
x2 y 2 z 2
2 2 2 1,
a
b
c
y h .
2
2
2
x
z
h
2 1 2 .
2
a
c
b
При любом h это уравнение определяет гиперболу, с
действительной осью || Oz.

21.

3) Сечения плоскостями z = h:
x2 y 2 z 2
2 2 2 1,
x2 y 2
h2
1
.
a
b
c
2
2
2
a
b
c
z h .
Это уравнение определяет
а) при | h | > c – эллипс (причем, чем больше | h |,
тем больше полуоси эллипса);
б) при | h | = c – точку C2,1(0; 0; c);
в) при | h | < c – мнимую кривую.

22.

z
Величины a, b и c называются
полуосями двуполостного гиперболоида.
c
y
x
Если a = b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью
вращения. Он получается в результате вращения вокруг своей
действительной оси гиперболы
y2 z2
2 2 1
b
c

23.

Замечание.
Уравнения
2
2
2
2
2
2
x y z
x y z
1
и
1
2
2
2
2
2
2
a b c
a b c
тоже определяют двуполостные гиперболоиды,
«вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.
но
• Двуполостный гиперболоид имеет центр
симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости
симметрии xOy, xOz, yOz.
они

24.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность
второго порядка, которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется уравнением
x2 y2
2 2z ,
2
a
b
где a, b – положительные константы.

25. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА

1) Сечения плоскостями x = h:
x2 y 2
2 2 2z ,
a
b
x h .
2
2
y
h
2
z
.
2
2
b
a
При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz,
ветви направлены вверх, параметр p = b2. При h 0 вершина
параболы смещена вверх.

26.

2) Сечения плоскостями y = h:
x2 y 2
2 2 2z ,
a
b
y h .
2
2
x
h
2
z
.
2
2
a
b
При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz,
ветви направлены вверх, параметр p = a2. При h 0 вершина
параболы смещена вверх.

27.

3) Сечения плоскостями
x2 y 2
2 2 2z ,
a
b
z h .
z = h:
2
2
x
y
2
h
.
2
2
a
b
Это уравнение определяет
а) при h > 0 – эллипс (причем, чем больше h,
тем больше
полуоси эллипса);
б) при h = 0 – точку O (0; 0; 0);
в) при h < 0 – мнимую кривую.

28.

z
Величины a и b называются
параметрами параболоида. Точка O
называется вершиной параболоида.
Если a = b, то параболоид является
поверхностью вращения. Он получается в результате вращения вокруг оси
y Oz параболы
y 2 2b 2 z
x
Эллиптический параболоид это поверхность, которая
получается при движении одной параболы вдоль другой
(вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и
неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну
сторону).

29.

Замечания:
1) Уравнение
2
2
x
y
2
z
a 2 b2
тоже определяет эллиптический параболоид, но «развернутый» вниз.
2) Уравнения
x2 z 2
2 2 y ,
2
a
c
y2 z2
2 2 x
2
b
c
определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии
Oy и Ox соответственно.
Эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии
xOz, yOz.

30.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность
второго порядка, которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется уравнением
x2 y 2
2 2z ,
2
a
b
где a, b – положительные константы.

31. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА

1)
Сечения плоскостями x = h:
x
y
2 2 2z ,
a
b
x h .
2
2
2
2
y
h
2 2z 2 .
b
a
При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz,
ветви направлены вниз, параметр p = b2. При h 0 вершина
параболы смещена вверх.

32.

2) Сечения плоскостями y = h:
x
y
2
2
2 2 2z ,
x
h
2
z
.
a
b
2
2
a
b
y h .
2
2
При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz,
ветви направлены вверх, параметр p = a2. При h 0 вершина
параболы смещена вниз.

33.

3) Сечения плоскостями z = h:
x2 y 2
2 2 2z ,
a
b
z h .
2
2
x
y
2
h
.
2
2
a
b
Это уравнение определяет
а)
при h 0 – гиперболу
при h > 0 – действительная ось гиперболы || Ox,
при h < 0 – действительная ось гиперболы || Oy;
б) при h = 0 – пару прямых .

34.

z
x
y
Величины a и b называются параметрами параболоида.
Гиперболический параболоид это поверхность, которая
получается при движении одной параболы вдоль другой
(вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и
неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в
разные стороны).

35.

Замечания:
1) Уравнение
x2 y 2
2 2 z
2
a
b
тоже определяет гиперболический параболоид, но «развернутый» вниз.
2) Уравнения
x2 z 2
y2 z2
2 2 y ,
2 2 x
2
2
a
c
b
c
определяют гиперболические параболоиды, у которых
«неподвижные параболы» лежат в плоскости xOy и имеют оси
Oy и Ox соответственно.
Гиперболический параболоид имеет две плоскости
симметрии xOz, yOz.

36. Цилиндры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Цилиндрической
поверхностью
(цилиндром) называется поверхность, которую описывает
прямая
(называемая
образующей),
перемещающаяся
параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой
направляющей) .
Цилиндры называют по виду направляющей: круговые,
эллиптические, параболические, гиперболические.
z
z
y
x
y
x

37. Классификация цилиндрических поверхностей второго порядка

Эллиптический
цилиндр
Параболический
цилиндр

38.

Гиперболический цилиндр

39.

Замечание
Цилиндр в некоторой декартовой системе координат
задается уравнением, в которое не входит одна из
координат.
Кривая,
которую
определяет
это
уравнение
в
соответствующей координатной плоскости, является
направляющей цилиндра; а образующая – параллельна оси
отсутствующей координаты.

40. Конические поверхности 2-го порядка

Определение Коническая поверхность-
поверхность, образованная прямыми
(образующими конуса), проходящими через
данную точку (вершину конуса) и пересекающими
данную линию (направляющую конуса).
2
2
2
x
y
z
2 2 0
2
a
b
c

41. ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОНУСА

1)
Сечения плоскостями x = h:
x2 y 2 z 2
2 2 2 0,
a
b
c
x h .
2
2
2
y
z
h
.
2
2
2
b
c
a
Это уравнение определяет
а) при h 0 – гиперболу, с действительной осью || Oz;
б) при h = 0 – пару прямых.

42.

2) Сечения плоскостями y = h:
x2 y 2 z 2
2 2 2 0,
a
b
c
y h .
2
2
x
z
h
.
2
2
2
a
c
b
Это уравнение определяет
а) при h 0 – гиперболу, с действительной осью || Oz;
б) при h = 0 – пару прямых.
2

43.

3). Сечения плоскостями
z = h:
x2 y 2 z 2
2 2 2 0,
a
b
c
z h .
2
2
x
y
h
2 2.
2
a
b
c
Это уравнение определяет
а) при h 0 – эллипс (причем, чем больше | h |,
тем больше полуоси эллипса);
б) при h = 0 – точку O (0; 0; 0).
2

44.

z
Величины a, b и c называются
полуосями конуса.
Центр симметрии O называется
вершиной конуса.
y
x
Если a = b, то конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения вокруг
оси Oz прямой
c
z y
b

45.

Замечание.
Уравнения
2
2
2
2
2
2
x
y
z
x
y
z
0
и
0
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и
Ox соответственно.
English     Русский Правила