Поверхности 2-го порядка
3D пространство
Параллельный перенос
Параллельный перенос
3D поворот
3D поворот
Поворот вокруг оси Z
Поворот вокруг оси X
Поворот вокруг оси Y
Уравнение поверхности 2-го порядка
1. Все собственные числа отличны от нуля.
1. Все собственные числа отличны от нуля.
1. Все собственные числа отличны от нуля.
1. Все собственные числа отличны от нуля.
Эллипсоид
1. Все собственные числа отличны от нуля.
Конусы 2-го порядка
Конусы с разными осями симметрии
1. Все собственные числа отличны от нуля.
Гиперболоиды
Разные ориентации однополостных гиперболоидов
Гиперболоиды
Разные ориентации двуполостного гиперболоида
2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).
2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).
2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).
2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).
2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).
2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).
Параболоиды
Гиперболический параболоид
3. Два собственных числа равны нулю ( ).
3. Два собственных числа равны нулю ( ).
3. Два собственных числа равны нулю ( ).
531.85K
Категория: МатематикаМатематика

Поверхности второго порядка

1. Поверхности 2-го порядка

.

2. 3D пространство

Y
Y
Z
X
Z
Правая ориентация
X
Левая ориентация

3. Параллельный перенос

x' x a
y' y b
z' z c

4. Параллельный перенос

x' x a
y' y b
z' z c
x' 1
y' 0
z' 0
1 0
0 0 a x
1 0 b y
0 1 c
z
0 0 1 1

5. 3D поворот

Рассматривается поворот осей координат вокруг
начала координат.
В матричном представлении: всякая ортогональная
3х3 матрица задает поворот:
– Строки и столбцы образуют ортонормированную
систему
– Определитель равен +1 или -1
– Обратная матрица совпадает с транспонированной.

6. 3D поворот

x rxx
y r
yx
z rzx
1 0
rxy
ryy
rxz
ryz
rzy
0
rzz
0
0 x
0 y
0 z
1 1

7. Поворот вокруг оси Z

x' cos
y ' sin
z' 0
1 0
sin
cos
0
0
0 0 x
0 0 y
1 0 z
0 1 1

8. Поворот вокруг оси X

0
0
x' 1
y ' 0 cos sin
z ' 0 sin cos
0
0
1 0
0 x
0 y
0 z
1 1

9. Поворот вокруг оси Y

x' cos
y ' 0
z ' sin
1 0
0 sin 0 x
1
0
0 y
0 cos 0 z
0
0
1 1

10. Уравнение поверхности 2-го порядка

Уравнение поверхности 2-го порядка
главная(квадратичная) часть
.
линейная часть
Основная задача состоит в умении по уравнению определить тип
поверхности, привести само уравнение к каноническому виду и
построить поверхность в системе координат. Сначала произведем
поворот системы координат.

11.

Составим матрицу
Так как матрица симметрическая, то существует
ортогональное преобразование (поворот),
приводящее главную часть
к главным осям, так что преобразованное уравнение имеет
вид
Хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от
нуля, иначе матрица A была бы нулевой. Рассмотрим три
случая.

12. 1. Все собственные числа отличны от нуля.

1 x 2 2 y 2 3 z 2 2b1 x 2b2 y 2b3 z c 0
Выделим полные квадраты
1 ( x
b1
1
) 2 ( y
2
b2
2
) 3 ( z
2
выполним параллельный перенос
получим
2
2
2
1 ( x ) 2 ( y ) 3 ( z ) c 0
b3
3
) 2 c 0
x x
y y
z z
b1
1
b2
2
b3
3

13. 1. Все собственные числа отличны от нуля.

1 x 2 2 y 2 3 z 2 c 0
1.1. Если знаки 1 , 2 , 3 одинаковы и с=0, преобразуем
уравнение
x2
y2
z2
0
1
1
1
1
2
3
Получим каноническое уравнение точки (вырожденный
эллипсоид)
x2 y2 z 2
2 2 0
2
a
b
c

14. 1. Все собственные числа отличны от нуля.

1 x 2 2 y 2 3 z 2 c 0
1.2. Если знаки 1 , 2 , 3 и с одинаковы, то действительных
решений нет, преобразуем уравнение
x2
y2
z2
1
с
с
с
1
2
3
Получим каноническое уравнение мнимого эллипсоида
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c

15. 1. Все собственные числа отличны от нуля.

1 x 2 2 y 2 3 z 2 c 0
1.3. Если знаки 1 , 2 , 3 , с одной стороны, и с различны,
то действительных решений нет, преобразуем уравнение
x2
с
1
y2
с
2
z2
с
1
3
Получим каноническое уравнение действительного
эллипсоида
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c

16. Эллипсоид

Каноническое уравнение трехосного эллипсоида имеет вид
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
a, b, c
c
полуоси эллипсоида.
Центр этого эллипсоида находится
в начале координат.
Признаки уравнения эллипсоида:
1. Наличие квадратов всех трех переменных
2. Одинаковые знаки при квадратах переменных
a
b

17. 1. Все собственные числа отличны от нуля.

1 x 2 2 y 2 3 z 2 c 0
1.4. Знаки 1 , 2 , 3 различны, пусть знаки 1 , 2 0
отличаются от знака 3
и с =0, преобразуем уравнение
x2
y2
z2
1
1
1
1
2
0
3
Получим каноническое уравнение конуса
x2 y2 z 2
2 2 0
2
a
b
c

18. Конусы 2-го порядка

Каноническое уравнение конуса
x2 y2 z 2
2 2 0
2
a
b
c
Ось симметрии конуса : перед квадратом какой переменной в левой
части уравнения знак минус, та ось системы координат и будет
являться осью симметрии. Для данного уравнения – это ось OZ.
Признаки уравнения конуса:
1. Наличие квадратов всех трех переменных
2. Разные знаки при квадратах переменных
3. Свободный член в правой части уравнения равен нулю.

19. Конусы с разными осями симметрии

Ось симметрии конуса определяется по уравнению
Конус с осью симметрии OY
2
2
2
x
y
z
2 2 0
2
a b
c
Конус с осью симметрии OX
x2 y2 z 2
2 2 2 0
a
b
c

20. 1. Все собственные числа отличны от нуля.

1 x 2 2 y 2 3 z 2 c 0
1.5. Знаки 1 , 2 , 3 различны, пусть знаки 1 , 2 0
отличаются от знака 3
и с 0 , преобразуем
уравнение
x2
y2
z2
с
с
с
1
2
1
3
Получим каноническое уравнение гиперболоида
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c

21. Гиперболоиды

Канонические уравнения гиперболоидов
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
В зависимости от знака перед единицей в правой
части гиперболоиды делятся на одно и двуполостные.
Каноническое уравнение однополостного
гиперболоида
a
b
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
a, b, c полуоси
1.
2.
3.
в
Признаки уравнения однополостного гиперболоида:
Наличие квадратов всех трех переменных
Разные знаки при квадратах переменных
Один знак минус при квадрате переменной в левой части уравнения,
правой части плюс 1.

22. Разные ориентации однополостных гиперболоидов

Ориентация гиперболоида зависит от того, перед какой переменной в
каноническом уравнении стоит знак минус.
Однополостный гиперболоид
с осью симметрии OY
2
2
2
x
y
z
2 2 1
2
a b c
c
Однополостный гиперболоид
с осью симметрии OX
x2 y2 z 2
2 2 2 1
a b c

23. Гиперболоиды

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
a, b, c
полуоси
Если из уравнения выразить z, то получим
Т.к.
x2 y2
z c
2 1
2
a
b
2
2
x
y
1 1 , то получается, что | z | c
2
2
a
b
c
c
Двуполостный гиперболоид на проходит через начало координат.
1.
2.
3.
в
Признаки уравнения двуполостного гиперболоида:
Наличие квадратов всех трех переменных
Разные знаки при квадратах переменных
Два знака минус в уравнении: один при квадрате переменной
левой части уравнения, другой в правой части при 1.

24. Разные ориентации двуполостного гиперболоида

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида содержит два
знака минус в уравнении.
Один знак минус оставляем в левой части уравнения, а второй
поставим перед единицей в правой части. В таком случае легко
определить ось симметрии гиперболоида: перед квадратом какой
переменной в левой части уравнения знак минус, та ось системы
координат и будет являться осью симметрии.
2
2
2
x
y
z
2 2 1
2
a b
c
| y | b
b
b
x2 y2 z 2
2 2 2 1
a
b
c
| x | a

25. 2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).

2. Одно из собственных чисел
равно нулю ( 3 0).
1 x 2 2 y 2 2b1 x 2b2 y 2b3 z c 0
Выделим полные квадраты
1 ( x
2.1. b3 0
получим
b1
1
) 2 ( y
2
b2
2
) 2 2b3 z c 0
, выполним параллельный перенос
1 ( x ) 2 ( y ) c 0
2
2
x x
y y
z z
b1
1
b2
2

26. 2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).

2. Одно из собственных чисел
равно нулю ( 3 0).
1 x 2 2 y 2 c 0
2.1.1. с=0, знаки 1 , 2 одинаковы. Получим
1 x 2 2 y 2 0
уравнение плоскости
2.1.2. с 0 , знаки 1 , 2 и с одинаковы:
нет решений:
x2 y2
2 1
2
a
b
x2
y2
1
с
с
1
2
-

27. 2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).

2. Одно из собственных чисел
равно нулю ( 3 0).
1 x 2 2 y 2 c 0
2.1.3. с 0 , знаки 1 , 2 одинаковы и отличаются от знака с:
x2
с
1
y2
с
1
2
x2 y2
2 1
2
a
b
- эллиптический цилиндр

28.

• Эллиптические цилиндры
Направляющей кривой являются эллипсы
x2 y2
2 1
2
a
b
ось симметрии OZ
y2 z2
2 1 ось симметрии OX
2
b
c
x2 z 2
2 1 ось симметрии OY
2
a c
a
b
Для построения цилиндра строим эллипс с полуосями a и b в плоскости XOY,
а затем «превращаем» этот эллипс в цилиндр, вытягивая вдоль оси симметрии.

29. 2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).

2. Одно из собственных чисел
равно нулю ( 3 0).
1 x 2 2 y 2 c 0
2.1.4. с=0, знаки 1 , 2 различны. Получим
1 x 2 2 y 2 0 y 2 x уравнение плоскостей
1
x2
y2
2.1.5. с 0 , знаки 1 , 2 различны:
с
с
получим гиперболический цилиндр:
x2 y2
2 1
2
a
b
1
2
1
-

30.

• Гиперболические цилиндры
В качестве направляющей этих цилиндров служит гипербола.
x2 y2
2 1
2
a b
y2 z2
2 1
2
b
c
x2 z 2
2 1
2
a c
ось симметрии OZ
x2 y2
2 2 1
a b
ось симметрии OX
ось симметрии OY
При построении гиперболических цилиндров обязательно нужно
правильно определить мнимую и действительную оси гиперболы и ось
симметрии самого цилиндра.

31. 2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).

2. Одно из собственных чисел
равно нулю ( 3 0 ).
1 x 2 2 y 2 2b1 x 2b2 y 2b3 z c 0
2.2. b3 0
Выделим полные квадраты
c
1 ( x ) 2 ( y ) 2b3 ( z
) 0
1
2
2b3
b1
2
b2
2
выполним параллельный перенос
x x
y y
2
2
(
x
)
(
y
)
2b3 z 0
получим
1
2
b1
1
b2
2
с
z z
2b3

32. 2. Одно из собственных чисел равно нулю ( ).

2. Одно из собственных чисел
равно нулю ( 3 0).
1 x 2 2 y 2 2b3 z 0
Преобразуем
x2
y2
2b3 z
1
1
1
2
Получим каноническое уравнение параболоида
x2 y2
2 2 pz
2
a
b

33. Параболоиды

Канонические уравнения параболоидов можно записать
в общем виде
x2 y2
a
2
b
2
2 pz
Таким образом, в уравнении отсутствует квадрат одной переменной.
В зависимости от знака между квадратами двух других переменных
различают эллиптические и гиперболические параболоиды
Эллиптический
параболоид
x2 y2
2 2 pz
2
a
b
Признаки уравнения эллиптического или кругового параболоида:
1. Отсутствие квадрата одной из переменных
2. Одинаковые знаки при квадратах переменных в левой части уравнения

34. Гиперболический параболоид

Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид
x2 y2
2 2 2 pz
a
b
Отличительным признаком уравнения гиперболического параболоида
является то что в левой части уравнения между квадратами
переменных знак минус.
Признаки уравнения гиперболического параболоида:
1. Отсутствие квадрата одной из переменных
2. Разные знаки при квадратах переменных в левой
части уравнения
Эта поверхность имеет форму седла.

35. 3. Два собственных числа равны нулю ( ).

3. Два собственных числа равны
нулю ( 2 , 3 0 ).
x 2 2b1 x 2b2 y 2b3 z c 0
Выделим полный квадрат
(x
b1
) 2 2b2 y 2b3 z c 0
выполним параллельный перенос
x x
Получим
y y
z z
( x ) 2 2b2 y 2b3 z c 0
b1

36. 3. Два собственных числа равны нулю ( ).

3. Два собственных числа равны
нулю ( 2 , 3 0 ).
x 2 2b2 y 2b3 z c 0
3.1. b2 , b3 0 , получим
x 2 c 0
Это есть либо уравнения пересекающихся плоскостей, либо
уравнение плоскости или нет решения.

37. 3. Два собственных числа равны нулю ( ).

3. Два собственных числа равны
нулю ( 2 , 3 0 ).
3.2. хотя бы один из
перенос: x x
y y c
2b2
b2 , b3 :0
c
x 2b2 ( y
) 2b3 z 0
2b2
2
x 2 2b2 y 2b3 z 0
z z
поворот:
x x
y y cos z sin ( x ) 2 2b ( y cos z sin ) 2b ( y sin z cos ) 0
2
3
z y sin z cos
( x ) 2 y (2b2 cos 2b3 sin ) z ( 2b2 sin 2b3 cos ) 0
Подбираем угол таким образом, чтобы пропал коэффициент при z:
- параболический цилиндр ( x ) 2 2b y 0
x 2 2 py

38.

• Параболические цилиндры
Направляющей этих цилиндров является парабола.
x 2 2 py
ось симметрии OZ
y 2 2 px
ось симметрии OZ
y 2 2 pz
ось симметрии OX
z 2 2 py
ось симметрии OX
x 2 2 pz
ось симметрии OY
z 2 2 px
x 2 2 py
ось симметрии OY
При построении цилиндра нужно определить основные параметры параболы:
координаты вершины, ось симметрии и направление ветвей, построить
параболу, а затем уже строить цилиндр с соответствующей осью симметрии.
English     Русский Правила