Математическое моделирование

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

2022

2. Задачи линейного программирования

ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3. Линейное программирование

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Методы линейного программирования используют в прогнозных
расчетах, при планировании и организации производственных
процессов.
Линейное программирование – это область математики, в которой изучаются
методы исследования и отыскания экстремальных значений некоторой линейной
функции, на аргументы которой наложены линейные ограничения.

4.

Линейная функция в ЗЛП называется целевой, а набор
количественных соотношений между переменными, выражающих
определенные требования экономической задачи в виде уравнений
или неравенств, называется системой ограничений.
Слово программирование введено в связи с тем, что неизвестные
переменные обычно определяют программу или план работы
некоторого субъекта.

5.

Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на ее
аргументы, называется математической моделью задачи оптимизации.
ЗЛП записывается в общем виде так:
F ( x) c1x1 c2 x2 ... c j x j ... cn xn m a x(min)
при ограничениях
a11 x1 a12 x2 ... a1 j x j ... a1n xn b1 ,
a12 x2 a22 x2 ... a2 j x j ... a2 n xn b2 ,
...............................................................,
.
ai1 x1 ai 2 x2 ... aij x j ... ain xn bi ,
..............................................................,
am1 x1 am 2 x2 ... amj x j ... amn xn bm
x j 0, i 1, m, j 1, n.

6.

F ( x) c1x1 c2 x2 ... c j x j ... cn xn m a x(min)
Где:
x j -неизвестные
aij , bi , c j -заданные постоянные величины
a11 x1 a12 x2 ... a1 j x j ... a1n xn b1 ,
a12 x2 a22 x2 ... a2 j x j ... a2 n xn b2 ,
...............................................................,
.
ai1 x1 ai 2 x2 ... aij x j ... ain xn bi ,
..............................................................,
am1 x1 am 2 x2 ... amj x j ... amn xn bm
x j 0, i 1, m, j 1, n.
Ограничения могут быть заданы уравнениями
Наиболее часто встречаются задачи в виде: имеется ресурсов при ограничениях. Нужно определить
объемы этих ресурсов , при которых целевая функция будет достигать максимума (минимума), т. е.
найти оптимальное распределение ограниченных ресурсов.
При этом имеются естественные ограничения

7.

При этом экстремум целевой функции ищется на допустимом множестве решений,
определяемом системой ограничений, причем все или некоторые неравенства в
системе ограничений могут быть записаны в виде уравнений.
n
В краткой записи ЗЛП имеет вид:
F ( x) c j x j max(min)
j 1
n
a x b ,
j 1
ij
j
i
x j 0, i 1, m, j 1, n.
при ограничениях

8.

Для составления математической модели ЗЛП необходимо :
1)обозначить переменные;
2)составить целевую функцию;
3)записать систему ограничений в соответствии с целью задачи;
4)записать систему ограничений с учетом имеющихся в условии задачи
показателей.
Если все ограничения задачи заданы уравнениями, то модель такого вида
называется канонической
Если хоть одно из ограничений дано неравенством, то модель неканоническая

9. Примеры задач, которые сводятся к ЗПЛ.

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, КОТОРЫЕ СВОДЯТСЯ К ЗПЛ.
1.задача оптимального распределения ресурсов при планировании
выпуска продукции на предприятии (задача об ассортименте);
2.задача на максимум выпуска продукции при заданном
ассортименте;
3.задача о смесях (рационе, диете и т.д.);
4.транспортная задача;
5.задача о рациональном использовании имеющихся мощностей;
6.задача о назначениях.

10.

Задача об использовании ресурсов
Для изготовления двух видов продукции
Р1 и Р2 используют четыре вида ресурсов:
S1, S2, S3 и S4.
Прибыль от реализации единицы продукции
Р1 и Р2 соответственно 2 и 3 ден. ед.

11.

Задача об использовании ресурсов
Необходимо составить такой план
производства продукции, при котором
прибыль от ее реализации будет
максимальной

12.

Задача об использовании ресурсов
Решение
Введем переменные
Х1 – число единиц продукции Р1, запланированных к
производству
Х2 – число единиц продукции Р2, запланированных к
производству
Прибыль:
F = 2*X1+3*X2
Цель:
F → max

13.

Задача об использовании ресурсов
Решение
Ограничения
1) Условие неотрицательности:
Х1 0, Х2 0
2) На запас сырья S1:
3) На запас сырья S2:
4) На запас сырья S3:
5) На запас сырья S4:
1*X1+3*X2 18
2*X1+1*X2 16
0*X1+1*X2 5
3*X1+0*X2 21

14.

Задача об использовании ресурсов
Экономико-математическая модель
(задача линейного программирования)

15.

Экономико-математическая модель (коротко)