Геометрия дорог. Часть 2

1.

Геометрия дорог
Часть 2
Выполнила студентка 4 курса
Михайлова Оксана

2.

План вебинара
Вспомним, что такое параллельные прямые
Вспомним признаки параллельности прямых
Рассмотрим, что такое обратная теорема
Сформулируем теоремы об углах, образованных двумя
параллельными прямыми и секущей
● Решим задачу по данной теме

3.

Геометрия дорог

4.

Взаимное расположение двух прямых
Как две прямые, лежащие в одной плоскости, могут располагаться
по отношению друг к другу?
Пересекающиеся прямые
Параллельные прямые
a
b
a
b

5.

Параллельные прямые
Определение:
Две прямые на плоскости
называются
параллельными,
если они не пересекаются.
a
b
a ∥ b

6.

Углы, образованные двумя прямыми и секущей
c
1
4
5 6
8 7
2
3
a
b
● Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6
● Соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8,
2 и 6, 3 и 7
● Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6

7.

Признаки параллельности двух прямых
● Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие
углы равны, то прямые параллельны.
● Если при пересечении двух прямых секущей соответственные
углы равны, то прямые параллельны.
● Если при пересечении двух прямых секущей сумма
односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

8.

Евклидова геометрия
● Геометрия Евклида
● «Начала» (3 век до н.э.)
● Аксиома параллельности Евклида: «И если прямая, падающая на
две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы,
меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти
прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух
прямых».

9.

Евклидова геометрия
● Если на плоскости при пересечении двух прямых третьей сумма
внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти прямые при
достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны,
с которой эта сумма меньше 180°.
c
α + β < 180°
α
β
a
b

10.

Евклидова геометрия
● На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести ровно одну прямую, параллельную данной.
A
b
a

11.

Неевклидова геометрия
● Аксиома параллельности Лобачевского – это отрицание аксиомы
параллельности Евклида.
● Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней
мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и
не пересекающие её.
A
c
b
a

12.

Неевклидова геометрия
● Модели геометрии Лобачевского
Изогнутая
поверхность
Псевдосфера

13.

Евклидова геометрия
● Две прямые на плоскости называются параллельными, если они
не пересекаются.
a
b

14.

Признаки параллельности двух прямых
● Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие
углы равны, то прямые параллельны.
● Если при пересечении двух прямых секущей соответственные
углы равны, то прямые параллельны.
● Если при пересечении двух прямых секущей сумма
односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

15.

Теорема
Теорема
Условие
Заключение
При
Прямые
пересечении
параллельны
двух
прямых секущей накрест
лежащие углы равны
Прямые
параллельны
При
пересечении
двух
прямых секущей накрест
лежащие углы равны

16.

Теорема
Теорема:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то
накрест лежащие углы равны
c
a ∥ b
1
a
∠1 = ∠2
2
b

17.

Теорема
Теорема
Условие
Заключение
При пересечении
Прямые параллельны
двух прямых
секущей соответственные
углы равны
Прямые параллельны
При пересечении двух прямых
секущей соответственные
углы равны

18.

Теорема
Теорема:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то
соответственные углы равны
c
2
a ∥ b
a
∠1 = ∠2
1
b

19.

Теорема
Теорема
Условие
Заключение
Прямые
параллельны
При
пересечении
двух
прямых секущей сумма
односторонних углов
равна 180°
Прямые
параллельны
При пересечении
двух
прямых секущей сумма
односторонних углов
равна 180°

20.

Теорема
Теорема:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то
сумма односторонних углов равна 180°
c
a ∥ b
1
a
∠1 + ∠2 = 180°
2
b

21.

Задача
Две дороги со встречным движением проложены параллельно друг
другу, чтобы избежать аварии. Дорожным строителям была
поставлена задача проложить третью дорогу под углом 60° к одной
из данных дорог. С учетом подземных коммуникаций эта дорога
должна быть проложена под углом не более 70° ко второй данной
дороге. Возможно ли проложить такую дорогу?

22.

Решение задачи
a ∥ b
∠EAC = 60°
∠EAC = ∠EBD (соответственные при
a ∥ b и секущей c)
∠EBD = 60°≤ 70°
E
C
D
c
a
A
B
b
Ответ: да, такую дорогу возможно проложить

23.

Итоги вебинара
На вебинаре мы:
● Вспомнили определение и признаки параллельности двух
прямых
● Познакомились с обратной теоремой
● Рассмотрели теоремы об углах, образованных двумя
параллельными прямыми и секущей
● Закрепили теоретический материал с помощью задачи

24.

Спасибо за внимание!