Решение задач с помощью систем линейных уравнений

1. Тема урока Решение задач с помощью систем линейных уравнений

2.

При решении задач с помощью систем уравнений
поступают следующим образом
1) обозначают некоторые неизвестные числа буквами и,
используя условие задачи, составляют систему уравнений ;
2) решают, составленную систему уравнений;
3) истолковывают результат в соответствии с условием
задачи.
Пример 1
Задумали два числа. Если к первому числу прибавить удвоенное
второе число, то получиться 30. Если из первого числа вычесть
утроенное второе число, то получиться 5. Какие числа
задуманы?
Решение
Пусть первое задуманное число равно х, второе
задуманное число у. По условию задачи сумма чисел х и 2у равна
30, а разность чисел х и 3у равна 5.

3.

Составим и решим систему уравнений
х + 2у = 30,
х - 3у = 5; ·(-1)
х +2у = 30,
-х +3у = -5;
0х +5у = 25,
5у = 25,
у = 25:5,
у = 5,
Если у=5, то х + 2у = 30,
х + 2·5 =30,
х + 10 = 30,
х = 30-10,
х = 20.
20 – первое, задуманное число
5 – второе, задуманное число
Ответ: 20; 5

4.

Пример 2 Можно ли разменять сторублёвую купюру пятирублёвыми и
однорублёвыми монетами так, чтобы всех монет было 30?
Решение
Пусть х пятирублёвые монеты и у однорублёвые монеты. По условию сумма всех
монет 30. Так как с помощью этих монет можно разменять сторублёвую купюру, то
выполняется сумма 5х и у равная 100.
Составим и решим систему уравнений
х + у = 30,
5х + у = 100;
х = 30 – у,
5х + у = 100;
х = 30 – у,
5(30 – у) + у =100;
х = 30 – у,
у = 12,5;
Решим уравнение
5(30 – у) + у = 100,
150 -5у +у = 100,
-4у = 100 – 150,
-4у = - 50,
у = - 50 : (-4),
у = 12,5.
х = 30 - 12,5,
х = 17,5,
у = 12,5;
у = 12,5.
х = 17,5 и у = 12,5 – не удовлетворяют условию задачи, так как х и у должны
быть натуральными числами
Ответ: разменять сторублёвую купюру указанным способом не возможно

5.

Пример 3 Масса 15 кирпичей и 5 шлакоблоков равна 64 кг. Какова масса одного кирпича и
одного шлакоблока, если 5 кирпичей тяжелее 2 шлакоблоков на 3 кг.?
Решение
Пусть масса кирпича х кг, шлакоблока у кг. Тогда масса кирпичей 15х и масса
шлакоблоков 5у равна 64 кг. По условию 5 кирпичей тяжелее 2 шлакоблоков на 3 кг.
Составим и решим систему уравнений
15х + 5у = 64,
5х - 2у = 3; · (-3)
15х + 5у = 64,
-15х + 6у = -9;
0х + 11у = 55,
11у = 55,
у = 55:11,
у = 5.
Если у = 5, то 15х + 5у = 64,
15 х + 5·5 = 64,
15х = 64-25,
15х = 39,
х =39:15,
х = 2,6.
2,6 кг – масса кирпича, 5 кг – масса шлакоблока
Ответ: 2,6 кг; 5 кг

6.

Пример 4
Легковой автомобиль за 3,5 часа проехал то же расстояние, что и грузовой
автомобиль за 5 часов. Найдите скорости автомобилей, если
известно, что легковой автомобиль двигался на 30 км/ч быстрее грузового
автомобиля.
Решение
Пусть скорость легкового автомобиля x км/ч , а грузового
автомобиля y км/ч. Легковой автомобиль проехал расстояние равное 3,5х
км, грузовой -5у км, известно что оба автомобиля проехали равное
расстояние. По условию скорость легкового автомобиля на 30 км/ч больше
скорости грузового автомобиля.
Составим и решим систему уравнений
х - у = 30, ·(-5)
3,5х - 5у = 0;
- 5х + 5у = -150,
,5х - 5у = 0;
- 1,5х +0у = -150,
-1,5х = -150,
х = -150:(-1,5),
х =100.

7.

Если х=100, то х - у= 30,
100 - у =30,
- у = 30 - 100,
- у = -70,
у = 70.
100 км/ч – скорость легкового автомобиля
70 км/ч – скорость грузового автомобиля
Ответ: 100 км/ч; 70 км/ч
Пример 5
Известно что, два карандаша и три тетради стоят 35 рублей, а
две тетради и три карандаша стоят 40 рублей. Необходимо выяснить,
сколько стоят пять карандашей и шесть тетрадей.
Решение
Пусть х рублей стоит один карандаш, у рублей стоит одна тетрадь. По
условию два карандаша и три тетради стоят 35 рублей, а две тетради и
три карандаша стоят 40 рублей .
Составим и решим систему уравнений
2х +3 у = 35,
3х + 2у = 40;

8.

2х = 35 – 3у, : 2
3х + 2у = 40;
х = 17,5 – 1,5у,
3(17,5 – 1,5у) + 2у =40;
х = 17,5 – 1,5у,
у = 5;
х = 17,5 – 1,5 ·5,
у = 5;
х = 10,
у = 5.
Решим уравнение
3(17,5 – 1,5у) + 2у =40,
52,5 – 4,5у + 2у = 40,
-2,5у = 40 – 52,5,
-2,5у = - 12,5,
у = -12,5 : (-2,5),
у=5
10 рублей стоит один карандаш
5 рублей стоит одна тетрадь
5 · 10 + 6 · 5 = 50 +30 = 80 рублей стоят пять карандашей и шесть
тетрадей.
Ответ: 80 рублей.

9.

10.

СПАСИБО
ЗА
ВНИМАНИЕ