Взаимное расположение прямой и окружности

1.

2.

а
О
r
Как вы думаете, сколько общих точек
могут иметь прямая и окружность?

3.

Сначала вспомним как
задаётся окружность
B
D
Окружность (О, r)-множество всех точек
О
A
плоскости, удаленных от т О (центра) на
r
раcстояние r
С
r – радиус
АВ – хорда
CD - диаметр

4.

A
1) d<r
H
B
p
d<r
r
O
HA HB
r 2 d2
По теореме Пифагора
OA
OH2 HA 2
d 2 (r 2 d 2 ) r
OB
OH2 HB 2
d 2 (r 2 d 2 ) r
Следовательно, точки А и В лежат на окружности и, значит,
являются общими точками прямой р и данной окружности.
ВЫВОД
Если расстояние от центра окружности до прямой
меньше радиуса окружности (d<r), то прямая и
окружность имеют две общие точки.
Прямая называется секущей по отношению к
окружности

5.

H
d=r
O
2) d=r
М
p
ОН=r, точка Н лежит на
окружности и, значит, является
общей точкой прямой и
окружности
ВЫВОД
Если расстояние от центра окружности до
прямой равно радиусу окружности (d=r), то
прямая и окружность имеют одну общую
точку

6.

М
3) d>r
H
p
d>r
r
ОН>r, поэтому для любой точки М
прямой р ОМ≥ОН>r. Следовательно
точка М не лежит на окружности.
O
ВЫВОД
Если расстояние от центра окружности до
прямой больше радиуса окружности (d>r), то
прямая и окружность не имеют общих точек

7.

Сколько общих точек могут иметь
прямая и окружность?
H
А
Н
В
d
d
d
r
О
d<r
две общие
точки
r
О
r
О
d=r
d>r
одна общая
точка
не имеют
общих точек