Теорема Виета. Уравнения

1.

2.

Уравнения
х2 + 6х - 7 = 0
х2 -4 х + 3 = 0
х2 -7 х + 12 = 0
х2 - х - 12 = 0
х2 + 8 х + 15 = 0
a b
c
x1 x2 x1 + x2 x1• x2

3.

4.

Уравнения
х2 + 6х - 7 = 0
х2 -4 х + 3 = 0
х2 -7 х + 12 = 0
х2 - х - 12 = 0
х2 + 8 х + 15 = 0
a
1
1
1
1
1
b
6
-4
-7
-1
8
c
-7
3
12
-12
15
x1
-7
1
3
-3
-5
x2 x1 + x2 x1• x2
1
3
4
4
-3

5.

2
х
– 2023х + 2022 = 0.

6.

Кроссворд
1
6
12
9
5
7
3
2
4
11
10
8

7.

8.

Кроссворд
1
6
12
к
д
о
9
11
8
в
5
7
и
б
4
о
10
ч
д
а
п
к
с
р
с
д
н
ё
в
д
р
3
2
о
к
а
в
и
е
т
а
р
и
в
п
р
р
т
о
н
а
в
т
е
н
и
н
б
ы
т
е
о
р
е
м
а
о
м
н
д
р
в
й
и
я
д
ы
ё
о
ы
н
н
м
н
й
й
а
ы
н
н
й
ы
т
м
н

9.

Теорема Виета

10.

Франсуа Виет
Французский математик, ввел
систему алгебраических символов,
разработал основы элементарной
алгебры.Он был одним из первых,
кто
числа
стал
обозначать
буквами, что существенно развило
теорию уравнений.
Виета часто называют «отцом алгебры»
1540-1603

11.

Цели урока:
1. Экспериментальным путем выявить зависимость
между корнями квадратного уравнения и его
коэффициентами;
2. Познакомиться с теоремой Виета.
3. Сформировать умения применять её при решении
типовых упражнений.

12.

Уравнения
х2 + 6х - 7 = 0
х2 -4 х + 3 = 0
х2 -7 х + 12 = 0
х2 - х - 12 = 0
х2 + 8 х + 15 = 0
a
1
1
1
1
1
b
6
-4
-7
-1
8
c
-7
3
12
-12
15
x1
-7
1
3
-3
-5
x2 x1 + x2 x1• x2
1
3
4
4
-3

13.

14.

Уравнения
х2 + 6х - 7 = 0
a b c x1 x2 x1 + x2 x1• x2
1 6 -7 -7 1 -6
-7
х2 -4 х + 3 = 0
1 -4 3
3
4
3
х2 -7 х + 12 = 0
х2 - х - 12 = 0
1 -7 12 3 4
1 -1 -12 -3 4
7
1
12
-12
х2 + 8 х + 15 = 0
1 8 15 -5 -3
-8
15
1

15.

Приведенные
уравнения
х2 + 6х - 7 = 0
х2 -4 х + 3 = 0
х2 -7 х + 12 = 0
х2 - х - 12 = 0
х2 + 8 х + 15 = 0
c
x1 x2 x1 + x2 x1• x2
a
b
1
1
1
1
1
6 -7 -7 1
-4 3 1 3
-7 12 3 4
-1 -12 -3 4
8 15 -5 -3
-6
4
7
1
-8
-7
3
12
-12
15

16.

17.

.
.
Дано: х2 + pх + q = 0. D = p2 – 4q, D>0
Доказать: х1 + х2 = - p, х1 х2 = q.
Доказательство:
х1= p D, аналогично х2= p D
.
2
2
p D p D p p D D 2p
p
х1+х2=
2
2
2
2
х1х2=
p D p D
( p D )( p D )
( p) 2 ( D ) 2
2
2
4
4
p2 D
p 2 ( p 2 4q )
p 2 p 2 4q
4q
q
4
4
4
4

18.

Теорема Виета
Если x1, x2 – корни приведенного квадратного уравнения
х2 + рх + q = 0, то x1 + x2 = - р, x1• x2 = q.
х2+6х+8=0
х2-3х-18=0
х2+4х-5=0
x1 + x2 = - 6, x1• x2 = 8
x1 + x2 = 3
x1• x2 = -18
x1 + x2 = - 4 x1• x2 = -5
х1 = -2 ; х2 = -4
х1 = -3; х2 = 6
х1 = 1; х2 = -5
Обратная теорема
Если числа m , n таковы, что m + n = - р, m• n = q,
то эти числа – корни приведенного квадратного
уравнения х2 + рх + q = 0.

19.

Решить уравнение
х2 – 2023х + 2022 = 0
x1 + x2 = 2023
x1• x2 = 2022
х1 = 1 ; х2 = 2022

20.

х2 + х + 3=0
x1 + x2 = -1
x1• x2 = 3
х1 = ? ; х2 = ?
Проблема?
1. Найти дискриминант.
2. Если D ≥ 0, то можно применить теорему
Виета или обратную ей теорему.

21.

22.

23.

Домашнее задание:
п. 24 № 580( 1ст), 581 (а), 583 (а,б)

24.

25.

26.

Алгоритм нахождения корней приведенного
квадратного уравнения
Найдем корни
приведенного квадратного
уравнения --------Свободный
член
Предполагаем
ые корни
или
Произведение
корней
или
Сумма
корней
или
Второй
коэффициен
т
Вывод: корни
Найдем корни приведенного
квадратного уравнения
Х2 +3х+ 2=0
2
Свободный член
Предполагаемые
корни
Сумма корней
Второй
коэффициент
Вывод: корни
1;2
или -1; -2
3
или -3
3
-1;-2