Решение заданий №5 ОГЭ. Геометрические теоремы

1.

Решение заданий №5 ОГЭ
Учитель математики МКОУ «Гридинская основная
школа имени Героя Советского Союза
С.А.Богомолова»: Чижова Анна Александровна.

2.

При решении заданий 1-5 ОГЭ
требуется внимательного прочтения
текста.
Многие задания решаются с выбором
ответа, действуя логически, в
заданиях под номером 5 часто
применяем геометрические теоремы, в
частности используем теорему
Пифагора.

3.

Так, например, в заданиях с печью.
Печь снабжена кожухом
вокруг дверцы топки. Верхняя
часть кожуха выполнена в
виде арки, приваренной к
передней стенке по дуге
окружности (см. рис.). Для
установки печки хозяину
понадобилось узнать радиус
закругления арки R. Размеры
кожуха показаны на рисунке.
Найдите радиус в
сантиметрах.

4.

При решении данного задания мы должны
выделить прямоугольный треугольник. В этом
треугольнике выразить катеты и гипотенузу,
затем находим по теореме Пифагора
гипотенузу, которая и является радиусом
закругления арки в печи.
h = 60 - 50 = 10
BN = 36 : 2 = 18
R² - (R - 10)² = 18²
R² - (R² - 2 ∙ R ∙ 10 + 10²) =
18²
R² - (R² - 20R + 100) = 324
R² - R² + 20R - 100 = 324
20R - 100 = 324
20R = 324 + 100
20R = 424
R = 424 : 20
R = 21.2

5.

Ещё один пример:

6.

Решение: На рисунке 2 сделаем дополнительные построения:
проведем 3 радиуса OA, OB и OD;
хорду AB.
Рассмотрим △OAB. Он
равнобедренный. ОС – медиана,
проведенная к основанию. ОС также
и высота. △OСA – прямоугольный.
Воспользуемся теоремой Пифагора.
Обозначим радиус за х.
CD = 75 – 60 = 15.
AB =50. AC = BC = 25.
OC = x – 15.
AO2 = AC2 + CO2;
x2 = 252 + (x – 15)2;
x2 = 625 + x2 – 30x + 225;
30x = 850;
X ≈ 28,3 (см).
Ответ: 28,3.

7.

В заданиях с теплицей мы так же используем
теорему Пифагора.

8.

Задание№5: Найдите высоту входа в теплицу.
Ответ дайте в сантиметрах.
Для решения этого задания нам необходимо сначала найти ширину
теплицы. Это задание может быть №4 или №3.

9.

Дуги для теплицы имеют форму полуокружности. Чтобы найти ширину теплицы, нужно
достроить окружность и найти радиус окружности OD.
Ширина теплицы AD является диаметром окружности. AD = 2 * OD.
Длина дуги теплицы равна 5 м и вычисляется по формуле П * OD (это длина полуокружности).
OD = 5 : 3,14 = 1,6 (м).
AD = 2 * OD = 2 * 1,6 = 3,2 (м).=320 см.
По условию задания мы знаем, что точки В О С делят отрезок АD на четыре равные части.

10.

Решение:
Чтобы найти высоту входа в теплицу,
нужно рассмотреть прямоуголный
треугольник OC1A. Применив теорему
Пифагора, вычислим высоту CC1
теплицы.
По условию AB = BO = OC = CD = 320 см : 4 =
80 см.
ОС1 = OD = 160 см – радиусы.
По теореме Пифагора имеем: СС1 = 80√3 см
= 136 см.
Ответ: 136.см

11.

Теорема Пифагора применяется и при нахождении кротчайшего
расстояния от одной точки до другой. Например, такое задание:

12.

Найдите расстояние между
противоположными углами гаража (длину
диагонали) в метрах.
Решение: Гараж – прямоугольник.
Проведем отрезок, согласно условию
задачи.
Рассмотрим прямоугольный треугольник.
Используя теорему Пифагора, найдем
расстояние между указанными углами
гаража. Так как длина клетки
соответствует 2 метрам, то один катет
равен 8м, а другой 6м. Решение задачи
сводится к нахождению гипотенузы, это и
будет кротчайшее расстояние.
d=√64+36=√100
Это расстояние будет равно 10 м.
Ответ: 10м.
Так же есть задания, где нужно найти
расстояние между двумя зданиями.
Задания решаются аналогичным
способом.

13.

Разберём задачи, где нужно узнать, каким шрифтом
нужно напечатать текст, это варианты с листами бумаги.

14.

Наиболее сложные такие задания: №5. Размер (высота) типографского
шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, т.е. 0,3528 мм.
Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на
листе формата А3 так же, как этот текст, напечатанный шрифтом высотой 10
пунктов на листе формата А4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение: т.к. листы форматов А3 и А4 подобны, то размер
текста на листе формата А3 должен быть подобен размеру
текста на листе формата А4.
Найдем коэффициент подобия листов. Для этого найдем
отношение их длин.
Т.к. длина листа формата А3 равна 420, а длина листа
формата А4 равна 297, то коэффициент подобия будет
равен
420 : 297 ≈ 1,41.
Тогда и отношение шрифтов тоже будет иметь
коэффициент подобия 1,41.
Обозначим за Х высоту шрифта на листе формата А3.
х : 10 = 1,41;
х = 1,41 · 10 = 14,1 ≈ 14.
Ответ: 14.
По данному рассуждению решаем другие задания.

15.

Следующий вид задач: На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка,
ул. Зелёная, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет
прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай
площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом. Напротив жилого дома расположены
яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная
плиткой, и огород
с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6).
Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером
1 м×1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой.
К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

16.

Задание №5.
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления.
Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены
на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе г
аза, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Нагреватель
(котёл)
Прочее
оборудован
ие
и монтаж
Средн.
расход газа/
средн.
потребл.
мощность
Стоимость
газа/электро
энергии
Газовое
отопление
20 000 руб.
15 370 руб.
1,6 куб. м/ч
4,9 руб./куб.
м
Электр.
отопление
15 000 руб.
14 000 руб.
4,9 кВт
4,2 руб./(
кВт⋅ч )
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление.
Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от
использования газа вместо электричества компенсирует разницу в
стоимости покупки
и установки газового и электрического оборудования?

17.

Решение данной задачи я разместила в таблице,
добавив столбцы:
Нагреватель
(котёл)
Прочее
оборуд
ование
и
монтаж
Общие затраты
Средн.
расход
газа/
средн.
потребл.
мощность
Стоимо
сть
газа/эл
ектроэ
нергии
Общая
стоимость
расхода
Газовое
отопление
20 000 руб.
15 370
руб.
20000+15370=35370
руб
1,6 куб. м/ч
4,9
руб./куб
.м
1,6*4,9=7,84
Электр.
отопление
15 000 руб.
14 000
руб.
15000+14000=29000руб
4,9 кВт
4,2
руб./(
кВт⋅ч )
4,9*4,2=20,58
разница
35370-29000=6370
20,587,84=12,74
Теперь поделим разницу в затратах на разницу средних расходов
6370:12,74=500 часов
Ответ: через 500 часов.
При решении этих заданий я предлагаю детям запомнить формулу: (разница в затратах на
оборудование)/(разница в затратах на средний расход)

18.

При решении заданий с шинами, необходимо
очень внимательно прочитать текст задания.
Рис. 1
Рис. 2
Автомобильное колесо, как правило, представляет из себя металлический диск с
установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром
внутреннего отверстия в шине.
Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений.
Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число (число 195 в приведённом примере) обозначает
ширину шины в миллиметрах (параметр B на рисунке 2). Второе число (число 65 в
приведённом примере) — процентное отношение высоты боковины (параметр H на рисунке
2) к ширине шины, то есть 100⋅H/B
Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере буква R означает,
что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов
колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции.
За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр диска колеса d в
дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D легко найти, зная
диаметр диска и высоту боковины. Возможны дополнительные маркировки, обозначающие
допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и
другие параметры. Завод производит легковые автомобили определённой модели и
устанавливает на них колёса с шинами маркировки 185/60 R14.

19.

Задание 1.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице
показаны разрешённые размеры шин.
Ширина шины (мм)
Диаметр диска (дюймы)
13
14
15
165
165/70
165/65
-
175
175/65
175/65; 175/60
-
185
185/65; 185/60
185/60
185/55
195
195/60
195/55
195/55; 195/50
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль,
если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение: 185 мм.
В решении понадобятся навыки работы с таблицей и выбора правильного
условия.

20.

Задание 2.
На сколько миллиметров радиус колеса с шиной
маркировки 205/55 R14 больше, чем радиус колеса с
шиной маркировки 165/65 R14?
Решение: Так как оба колеса имеют одинаковый
диаметр R14, то радиус будет отличаться на
величину Н, указанную на рисунке 2. Выразим из
формулы Н/В*100 величину Н.
Н1=205*0,55=112,75
Н2=165*0,65=107,25.
Найдём разницу: 112,75-107,25=5,5
Ответ:5,5

21.

Задание 3.
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если
заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами
маркировки 195/50 R15?
Аналогично решаем следующее задание,
но не забываем, что у колёс разный
диаметр.
Найдём диаметр 1 колеса:
2*195*0,5+15*25,4=576
Найдём диаметр 2 колеса:
2*185*0,6+14*25,4=577,6
Найдём разницу:
577,6-576=1,6 мм
Ответ: 1,6 мм

22.

Задание 5.
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте
колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с
шинами маркировки 175/60 R14? Результат округлите до десятых.
Решение:
Диаметр колеса, выпускаемого с завода мы уже
находили, он равен 577,6 мм. Найдём длину окружности
колеса по формуле L=πD.
L=577,6π,
Найдём длину окружности второго колеса:
(2*1,75*0,6+14*25,4)* π=565,6 π.
Найдём разницу:577,6π – 565,6 π=12 π.
Теперь найдём процентное соотношение:
12 π:577,6 π=0,0207 части, переведём в проценты и
округляем получаем 2,1%
Ответ: 2,1%.
В этом задании не обязательно умножать на число π, так
как при дальнейшем преобразовании оно сократиться.

23.

Спасибо за внимание!