Геометрическая прогрессия. Решение задачи

1.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ

2.

Геометрическая прогрессия (∺) последовательность отличных от нуля чисел, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему,
умноженному на одно и то же число q (q≠0)
bn 1
q
знаменатель(q 0)
bn
q 0
q 0
( bn - одного знака)
(знаки bn чередуются)
b1 0
b1 0
(bn )
0 q 1
q 1
(bn )

3.

Пример:
(bn ) : 0,5;0,05;0,005;0,0005...
bn 5 (0,1) - формула общего члена
n
b1 0,5
q 0,1

4.

Формула общего члена
b1
b2 b1 q
b3 b2 q (b1 q) q b1 q
2
b4 b3 q (b1 q ) q b1 q
2
3

5.

Г и п о т е з а : bn b1 q
n 1
Метод математической индукции :
1 1
1.Пусть n 1, тогда b1 b1 q b1 q b1
Гипотеза верна для n=1.
k 1
2.Пусть верно : bk b1 q
0
Докажем, что тогда гипотеза верна и для bk 1.
3. bk 1 bk q b1q
bk 1 b1 q
( k 1) 1
k 1
q b1 q
( k 1) 1
гипотеза верна!
.

6.

Характеристическое b 2 b b .
n
n 1
n 1
свойство :
bn 1 bn 1 b1 q ( n 1) 1 b1 q ( n 1) 1
b12 q ( n 2 n ) b12 q 2( n 1)
b1 q
bn2 .
n 1 2
b bn 1 bn 1.
2
n
Вывод:квадрат
каждого члена
геометрической
прогрессии равен
произведению
его соседей.

7.

b bn k bn k (n k )
2
n
Следствие :
bn k bn k (b1 q n k 1 ) (b1 q n k 1 )
2 q 2 n 2
2
n
k
1
n
k
1
b
b1 q
1
b1 q
bn2
n 1 2
b bn k bn k
2
n
bn bn k bn k
Вывод: квадрат
каждого члена
геометрической
прогрессии равен
произведению его
равноудалённых
соседей

8.

Ещё одно свойство геометрической прогрессии:
Если n m k l , то bn bm bk bl
bn bm (b1 q n 1 ) (b1 q m 1 ) b12 q ( n m ) 2
n m k l
||
bk bl (b1 q k 1 ) (b1 q l 1 ) b12 q ( k l ) 2
bn bm bk bl
b1 bn b2 bn 1 b3 bn 2 ... bk bn k 1

9.

И ещё одно
свойство
геометрической
прогрессии:
bn
n m
q
bm
bn b1 q n 1
q ( n 1 m 1) q n m
bm b1 q m 1

10.

Формула суммы n первых членов
(1) S n b1 b2 ... bn / q
S n q b1 q b2 q ... bn 1 q bn q
Sn q b2 b3 ... bn bn q ( 2)
2 1 : Sn q Sn bn q b1
bn q b1
S n q 1 bn q b1 S n
q
1
(q 1)
n 1
b
q
1
n
1
Sn
bn b1 q
q 1
Если q=1, то S n n b1

11.

№5 Между числами 2 и 18 вставьте
три числа так, что бы получилась
геометрическая прогрессия.
5.1)q 3 2 3;6; 6 3;
2)q 3 2 3;6;6 3;

12.

№6 В геометрической прогрессии сумма
первого и второго членов равна 45,
а сумма второго и третьего равна 30.
Найдите эти три члена прогрессии.
6.27;18;12;

13.

№7
В геометрической
прогрессии,
знаменатель
которой число
положительное,
b1 b2 27, а
1
b3 b4
3
Найдите эти четыре
члена прогрессии.
1
1
2)q 9;3;1; ;
3
3