Стереометрия. Аксиомы стереометрии (10 класс)

1. Стереометрия Аксиомы стереометрии

2.

- Что такое геометрия?
Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур
«Геометрия» - (греч.) – «землемерие»
- Что такое планиметрия?
Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются
свойства фигур на плоскости.
- Основные понятия планиметрии?
Основные понятия планиметрии:
А
точка
а
прямая

3.

Для обозначения точек как и в планиметрии
используют прописные латинские буквы:
F
Прямую обозначают одной строчной
латинской буквой и двумя прописными
латинскими буквами:
l
A
B

4. Основные аксиомы планиметрии.

В
С
D
b
А
Какова бы ни была
прямая, существуют
точки, принадлежащие
этой прямой, и точки, не
принадлежащие ей.
Через любые две
точки можно провести
прямую, и только
одну.

5.

Стереометрия изучает свойства фигур в
пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от
греческих слов «стереос» объемный,
пространственный, «метрео» – мерить.
Основные фигуры: точка, прямая,
плоскость.

6. Стереометрия

Раздел геометрии, в котором изучаются
свойства фигур в пространстве
Основные фигуры в пространстве:
Точка
Прямая
Плоскость
А
а

7.

Наряду с основными фигурами мы будем
рассматривать геометрические тела и их
поверхности. Такие, как: куб, параллелепипед,
призма, пирамида.
А также тела вращения: шар, сфера, цилиндр,
конус.

8.

Плоскость в стереометрии обозначают греческими
буквами, например:
А на рисунках чаще всего плоскость изображают в
виде параллелограмма. Но следует понимать и
представлять себе данную геометрическую фигуру
как неограниченную во все стороны.

9.

При изучении в курсе стереометрии геометрических
тел пользуются их плоскими изображениями на
чертеже.
Изображением пространственной фигуры служит ее
проекция на плоскость.
Изображения конуса

10.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены
в аксиомах. Существует множество аксиом стереометрии, в
учебнике вам представлены три:
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой,
проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B

11.

Самый простой пример к аксиоме А1 из повседневной
жизни:
Табурет с тремя ножками всегда идеально
встанет на пол и не будет качаться. У
табурета с четырьмя ножками бывают
проблемы с устойчивостью, если ножки стула
не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три
ножки, а четвертая ножка (четвертая
«точка») не лежит в плоскости
пола, а висит в воздухе.

12.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в этой плоскости.
B
A
a
А
В
а

13.

Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется
для проверки «ровности» чертежной линейки.
Линейку прикладывают краем к плоской
поверхности стола. Если край линейки ровный, то
он всеми своими точками прилегает к поверхности
стола.
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Если край неровный, то в каких-то местах между
ним и поверхностью стола образуется просвет.

14.

Следствия из аксиомы А2:
1. Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с
ней не более одной общей точки.
2. Если прямая и плоскость имеют только одну общую
точку, то говорят, что они пересекаются.
a
N
а N

15.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой лежат все общие точки этих
плоскостей.
Самый простой пример к
аксиоме А3 из
повседневной жизни
является пересечение
двух смежных стен
комнаты.
a
a

16.

Аксиомы стереометрии описывают:
А1
А2
А3
Способ задания
плоскости
Взаимное
расположение
прямой и
плоскости
Взаимное
расположение
плоскостей
В
А
С
А
В

17.

Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая
пересекает
плоскость
Прямая
лежит в
плоскости
а
М
а
Множество
общих точек
Прямая не
пересекает
плоскость
а
а∩ = М
Единственная
общая точка
а⊄
Нет общих
точек
а

18. Прочитайте чертеж

С
A
A
C

19. Прочитайте чертеж

a
b
B
c
b B
c
a

20. Прочитайте чертеж

c
c

21.

Следствия из аксиом
Теорема
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость, и притом только одна.
Q
a
P
М

22.

Теорема
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N

23.

Задача 1
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ, МК, DB, AB, EC
D
K
P
M
Назовите точки
пересечения прямой DK с
плоскостью АВС
Назовите точки, лежащие
в плоскостях АDB и DBC
C
A
E
B

24.

Задача 2
B1
Q
P
A1
Назовите точки,
лежащие в
плоскостях DCC1 и
BQC
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости,
в которых лежит
прямая АА1