Стереометрия. Аксиомы стереометрии

1. Стереометрия Аксиомы стереометрии

2.

Стереометрия изучает свойства фигур в
пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от
греческих слов «стереос» объемный,
пространственный, «метрео» – мерить.
Основные фигуры: точка, прямая,
плоскость.

3.

Наряду с основными фигурами мы будем
рассматривать геометрические тела и их
поверхности. Такие, как: куб, параллелепипед,
призма, пирамида.
А также тела вращения: шар, сфера, цилиндр,
конус.

4.

Для обозначения точек как и в планиметрии
используют прописные латинские буквы:
F
Прямую обозначают одной строчной
латинской буквой и двумя прописными
латинскими буквами:
l
A
B

5.

Плоскость в стереометрии обозначают греческими
буквами, например:
А на рисунках чаще всего плоскость изображают в
виде параллелограмма. Но следует понимать и
представлять себе данную геометрическую фигуру
как неограниченную во все стороны.

6.

При изучении в курсе стереометрии геометрических
тел пользуются их плоскими изображениями на
чертеже.
Изображением пространственной фигуры служит ее
проекция на плоскость.
Изображения конуса

7.

Изучая свойства геометрических фигур –
воображаемых объектов, мы получаем
представление о геометрических свойствах
реальных предметов (их форме, взаимном
расположении и т. д.) и можем использовать эти
свойства в практической деятельности. В этом
состоит прикладное значение геометрии.
Геометрия, в частности стереометрия, широко
используется в строительном деле, архитектуре,
машиностроении, геодезии, во многих
других областях науки и техники.

8.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены
в аксиомах. Существует множество аксиом стереометрии, в
учебнике вам представлены три:
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой,
проходит плоскость, и притом только одна.
C
A
B

9.

Самый простой пример к аксиоме А1 из повседневной
жизни:
Табурет с тремя ножками всегда идеально
встанет на пол и не будет качаться. У
табурета с четырьмя ножками бывают
проблемы с устойчивостью, если ножки стула
не одинаковые по длине.
Табурет качается, т. е. опирается на три
ножки, а четвертая ножка (четвертая
«точка») не лежит в плоскости
пола, а висит в воздухе.

10.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в этой плоскости.
B
A
a
А
В
а

11.

Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется
для проверки «ровности» чертежной линейки.
Линейку прикладывают краем к плоской
поверхности стола. Если край линейки ровный, то
он всеми своими точками прилегает к поверхности
стола.
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Если край неровный, то в каких-то местах между
ним и поверхностью стола образуется просвет.

12.

Следствия из аксиомы А2:
1. Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с
ней не более одной общей точки.
2. Если прямая и плоскость имеют только одну общую
точку, то говорят, что они пересекаются.
a
N
а N

13.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой лежат все общие точки этих
плоскостей.
Самый простой пример к
аксиоме А3 из
повседневной жизни
является пересечение
двух смежных стен
комнаты.
a
a

14.

Следствия из аксиом
Теорема
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость, и притом только одна.
Q
a
P
М

15.

Теорема
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и
притом только одна
b
a
М
N

16.

Задача 1
Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ, МК, DB, AB, EC
D
K
P
M
Назовите точки
пересечения прямой DK с
плоскостью АВС
Назовите точки, лежащие
в плоскостях АDB и DBC
C
A
E
B

17.

Задача 2
B1
Q
P
A1
Назовите точки,
лежащие в
плоскостях DCC1 и
BQC
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости,
в которых лежит
прямая АА1

18. Задачи на готовых чертежах

1. Дано: точки А, В, С не лежат в одной
плоскости.
Указать: 1) плоскости, которым
принадлежит: а) прямая АВ;
б) точка F; в) точка С.
2) прямую пересечения плоскостей:
а) АВС и АCD; б) ABD и DCF.
2. Дано: прямые a, b и c пересекают α
в точках М,К и Р.
Лежат ли прямые a, b и c в одной
плоскости?
3. Дано: прямая с – линия пересечения
плоскостей α и β, a Є α, b Є β.
Доказать: a и b не лежат в одной
плоскости.

19. Ответы и указания

• 2. Нет, только если бы M, K и P лежали бы
на одной прямой.
• 3. Доказательство. Пусть это не так,
т. е. прямые a и b лежат в одной плоскости.
Тогда прямая с принадлежит этой
плоскости. Через прямые а и с можно
провести единственную плоскость α,
которой принадлежит и прямая b.
Получили противоречие.

20.

8. Две плоскости пересекаются по прямой с. Точка М лежит
только в одной из плоскостей. Что можно сказать о
взаимном положении точки М и прямой с?
а) никакого вывода нельзя сделать;
б) на прямой с лежит точка М;
в) через точку М прямая с не проходит;
г) другой ответ.
Г

21.

9. Прямые а и в пересекаются в точке М. Прямая с, не
проходящая через точку М, пересекает прямые а и в. Что
можно сказать о взаимном положении прямых а, в и с?
а) все прямые лежат в разных плоскостях;
б) прямые а и в лежат в одной плоскости, а прямая с в ней не
лежит;
в) все прямые лежат в одной плоскости;
г) ничего сказать нельзя;
д) прямая с совпадает с одной из прямых: или са, или св.
В

22.

10. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МϵАВ, КϵАС,
ХϵМК. Выберите верное утверждение:
а) ХϵАВ,
б) ХϵАС,
в) ХϵАВС;
г) точки Х и М совпадают; д) точки Х, К совпадают
В