Применение производной к исследованию графиков

1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ГРАФИКОВ

Высшая математика
1

2. «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»

3.

«…нет ни одной области
в математике, которая
когда-либо не окажется
применимой к явлениям
действительного
мира…»
• Н.И.Лобачевский

4.

Цели занятия:
научиться применять производные при
исследовании функций и построении графиков
у
х

5.

Общая схема построения графиков
функций.
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, является функция четной,
нечетной, периодической.
3. Найти точки пересечения графика
функции с осями координат (если это
возможно).
4. Найти асимптоты функции.

6.

7. 3). Наклонные асимптоты

Общее уравнение прямой-асимптоты : y=kx+b
Параметры К и b вычисляют по формулам:
.
f ( x)
k
lim
x
x
,
lim ( f ( x) kx) b
x
.

8.

Примечания:
1. Вертикальные асимптоты существуют в точках
разрыва функции.
2. У дробно-рациональной функции горизонтальные
асимптоты существуют, если степень числителя меньше или
равна степени знаменателя.
3. У дробно-рациональной функции наклонная асимптота
существует, если степень числителя больше, чем степень
знаменателя.
4. Для более точного построения эскиза нужно найти:
•промежутки знакопостоянства функции
•нули функции
•точки пересечения графика с осями (по возможности) и
с асимптотами

9.

5. Найти промежутки монотонности
функции и ее экстремумы.

10.

Правило нахождения монотонности и экстремумов
1) Найти производную f’(x).
2) Приравнять ее к 0: f’(x)=0. Точки, в которых производная
равна 0 или не существует называются критическими для
функции f(x).
3) Критические точки делят область определения функции на
интервалы. Они являются интервалами монотонности.
4) Исследовать знак f’(x) на каждом интервале.
Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает;
если f’(x)‹0, то функция f(x) убывает.
5) Если производная f’(x) при переходе через критическую
точку меняет знак:
с + на – , то эта точка - максимум,
с – на + , то эта точка - минимум

11.

6. Найти промежутки выпуклости
функции и ее точки перегиба.
Правило нахождения точек перегиба.
1) Найти вторую производную функции f ′′ (x) .
2) Приравнять вторую производную к нулю: f ′′ (x) = 0,
найти критические точки. Критические точки делят
область определения на интервалы.
3) Если на интервале f ′′ (x) > 0, то функция выпукла вниз,
если f ′′ (x) < 0 – функция выпукла вверх.
Если при переходе через критическую точку знак
производной меняется, то это точка - точка перегиба:

12.

7.Используя полученное
исследование, построить
график функции.

13. Практический материал

14. Исследовать функцию и построить её график.

15. Исследуем функцию и построим её график.

1). Поскольку знаменатель положителен при всех ,
область определения функции - вся ось
2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знака x
числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без
изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график
функции симметричен относительно начала
координат.
Периодической функция не является.
3).

16.

3). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем:
f(0) = 0, причём x=0 - единственное решение уравнения
f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось
Ox, и ось Oy в начале координат.
Очевидно, что f(x)>0 при x>0 и f(x)<0 при x<0.

17.

4) Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся
вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.
Найдём наклонные асимптоты при
. Имеем:
в виде
Таким образом, асимптотой как при
служит прямая
.
, так и при

18.

5) Найдём производную:
Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех хϵ R ; единственная
точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x)
возрастает на всей оси Ox, а в стационарной точке x=0
имеет горизонтальную касательную.

19.

7) Найдём вторую производную:
Знаменатель этой дроби положителен при всех x.
Числитель имеет корни x=0 и x=±√3, при этом f’’(x)>0
на интервалах
и
- на этих интервалах
функция выпукла. На интервалах
и выполняется
обратное неравенство f’’(x)<0, здесь функция вогнута.
Все три точки, в которых f’’(x)=0, то есть точки - √3, 0,
√3, являются точками перегиба.

20.

8). Теперь мы можем построить график с учётом всех
предыдущих пунктов исследования функции. График
имеет такой вид:

21. Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)ex и построим её график.

1). Ясно, что D(f) = R, поскольку оба сомножителя в
выражении f(x) определены при любом . Область
значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные
экстремумы функции.
2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является
она и периодической.
3). Область определения не имеет граничных точек, значит,
нет и вертикальных асимптот графика.

22.

4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b.
Коэффициент k найдём по формуле
: при
имеем
так что при
асимптоты нет, причём функция f(x)
стремится к
при
.
При
имеем:

23.

Теперь найдём значение b по формуле
Имеем:
.
Таким образом, k=0 и b=0, так что при
асимптота
имеет уравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox.
5). Точка пересечения с осью Oy равна f(0)=0. Заодно
нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти
все точки пересечения графика с осью Ox, решаем
уравнение f(x) = (x2 – 2x)ex . Поскольку ex ≠ 0, решаем
уравнение
, откуда получаем два корня:
x=0 и x=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три
интервала знакопостоянства функции:
,и
,
.

24.

Знак функции определяется множителем x2 – 2x,
поскольку ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при
при
и f(x)<0 при
.
6) Вычислим производную:
и
Интервалы возрастания задаются неравенством f‘(x)>0, то
есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2>0.
Решением этого неравенства служит множество
На этих двух интервалах функция
возрастает. Легко видеть, что на интервале
выполняется неравенство f‘(x)<0, следовательно, это
интервал убывания функции. В точке -√2 возрастание
сменяется убыванием, значит, точка -√2 - точка
локального максимума.

25.

Значение функции в этой точке равно
В точке √2 убывание сменяется возрастанием, значит,
точка √2 -- точка локального минимума функции.
Значение функции в точке минимума таково:
Теперь мы можем примерно представить, как идёт
график функции:
Эскиз графика
функции f(x)

26.

Становится очевидно, что область значений функции -это
7) По эскизу графика видно, что где-то в местах,
обведённых кружочками, должно смениться
направление выпуклости, то есть должны быть точки
перегиба. Для исследования этого найдём вторую
производную:
Решим неравенство
, эквивалентное неравенству
x2+2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства
служит объединение интервалов
и
На этих интервалах функция выпукла.

27.

Ясно, что на интервале
функция будет
вогнутой. Тем самым точки
и
-- это точки перегиба. Значения
функции в точках перегиба такие:
8). Осталось построить окончательный чертёж:
График функции (x2 – 2x)ex .

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

Практикум

46.

Подготовка к контрольной

47.

48.

49.

ЛИТЕРАТУРА
1. Богомолов Н.В. «Практические занятия по
математике», М. «Просвещение»2010
2. А.Х.Шахмейстер «Построение графиков функции
элементарными методами»,Издательство
Московского университета, МЦНМО,2003
3. Учебник Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л.: стр. 253
4. Гулиян Б.Ш.,Хамидуллин Р.Я.