Дискретная математика. Функция Патрика

1.

Дискретная математика

2.

3.

4.

5.

Пример.

6.

7.

8.

9.

Операция двоичного
сложения и её свойства.
Многочлен Жегалкина

10.

11.

12.

Диаграмма Венна для функции «Сложение по
модулю 2»

13.

Свойства операции сложение
по модулю 2

14.

Свойства операции сложение
по модулю 2
Операции с
константами
Связь между дизъюнкцией
и суммой по модулю два (строгой дизъюнкцией)

15.

Многочленом Жегалкина называется альтернативная дизъюнкция конъюнкции
высказываний, самих высказываний и единицы

16.

Все функции алгебры логики можно выразить через многочленом
Жегалкина.
Этих шести формул достаточно, чтобы преобразовывать
формулы алгебры логики в многочлен Жегалкина

17.

Иван Иванович Жегалкин (1869-1947) – российский и советский математик и
логик, профессор Московского университета. Заслуженный деятель науки РСФСР
один из основоположников современной математической логики. Из его открытий
наибольшую известность получил так называемый полином Жегалкина. Жегалкин
награжден Орденом Трудового Красного Знамени.
Жегалкин предложил в 1927 году в качестве
удобного средства для представления функций
булевой логики многочлен, названный
полиномом Жегалкина.

18.

Пример.
Избавляемся от импликации применяя
формулу 4.
Раскрываем скобки и избавляемся от
инверсии, используя формулу 1.
Раскрываем скобки и используем
формулу 2.
Получили многочлен Жигалкина

19.

20.

Для двух переменных полином Жегалкина имеет вид:
Для каждой строчки таблицы истинности записываем выражение значение функции,
подставляя значения переменных х и у

21.

Пример 2. Построить полином Жегалкина для функции
Используя метод неопределённых коэффициентов.
Решение. Построим таблицу истинности
Общий вид полинома Жегалкина для функции трех переменных:

22.

Последовательно подставляем наборы значений переменных и находим коэффициенты
Подставляя найденные коэффициенты, получаем полином Жегалкина

23.

Метод неопределенных коэффициентов
(по таблице истинности или вектору значений функции)
xy z f
0001
0011
0100
0110
1001
1010
1101
1111
a

24.

Пример 1
xy z f
0000
0010
0100
0110
1001
1011
1100
1111
x ∧ (y →z)
a

25.

Пример 2
xy z f
0000
0010
0100
0111
1000
1010
1100
1110
x ↓ (y | z)
a

26.

Пример 3
xy z f
0000
0011
0101
0110
1000
1010
1100
1110
x ↓ (y ↔ z)
a

27.

Пример 4
xy z f
0001
0010
0100
0111
1001
1011
1101
1111
x ∨ (y ↔ z)
a

28.

Пример 5
xy z f
0001
0011
0101
0111
1000
1011
1101
1110
x | (y ↔ z)
a

29.

Дополнительное задание.
Пусть функция задана вектором значений
f = (11001011).
Найти полином Жегалкина.