Определенный интеграл, его свойства и вычисление

1.

Определенный интеграл, его
свойства и вычисление

2.

Понятие определенного интеграла
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную
и ограниченную на отрезке [a,b]. Разобьем
[a,b] на n элементарных отрезков ∆xi
произвольной длины, возьмем на каждом
отрезке ∆xi произвольную точку ci и
вычислим значение функции f(ci) в этих
точках.

3.

Геометрическое изображение определения

4.

Определение интегральной суммы
Интегральной суммой для функции y=f(x)
на отрезке [a,b] называется сумма
произведений длин элементарных
отрезков ∆xi на значения функции f(ci) в
произвольных точках этих отрезков
n
S n f ( с i ) x i
i 1

5.

Определение определенного
интеграла
Определенным интегралом от функции f(x) на
отрезке [a,b] называется предел (если он
существует) интегральной суммы для функции f(x)
на отрезке [a,b], не зависящий от способа
разбиения отрезка [a,b] и выбора точек ci,
найденный при условии, что длины
элементарных отрезков (включая и
максимальный ∆xmax) стремятся к нулю.
b
f ( x)dx lim S
a
max{ xi } 0
n
n
lim f (сi ) xi
max{ x i } 0 i 1

6.

Геометрический смысл
определенного интеграла

7.

Основные свойства определенного
интеграла
10
Величина определенного интеграла не зависит от
обозначения
переменной
интегрирования
(инвариантность):
b
b
a
a
f ( x)dx f (t )dt
20
При
перестановке
пределов
определенный интеграл меняет
обратный (перестановочность):
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
a
интегрирования
свой знак на
f ( x)dx 0
a

8.

Основные свойства определенного
интеграла
30 Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное
число частичных промежутков, то определенный
интеграл, взятый по промежутку [a,b], равен сумме
определенных интегралов, взятых по всем его частичным
промежуткам (аддитивность):
a, b a, c c, b
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

9.

Основные свойства определенного
интеграла
40 Определенный интеграл от
алгебраической суммы конечного числа
непрерывных функций равен такой же
алгебраической сумме определенных
интегралов от этих функций (линейность):
k
f
x
dx
k
f
x
dx
a i 1 i i i 1 i a i
b
n
n
b

10.

Основные свойства определенного
интеграла
50. Если подынтегральная функция f(x) на отрезке
интегрирования сохраняет постоянный знак, то
определенный интеграл представляет собой
число того же знака, что и функция, при условии
b>a (монотонность):
b
если sgn(f(x))=const, то и sgn f ( x )dx = sgn(f(x)).
a
60. Модуль интеграла функции не превосходит интеграл
от модуля функции (неравенство по модулю)
b
b
a
a
f ( x)dx f ( x) dx

11.

Основные свойства определенного
интеграла
70. Определенный интеграл от непрерывной
функции равен произведению значения
этой функции в некоторой промежуточной
точке x=c отрезка интегрирования [a,b] на
длину отрезка b-a (теорема о среднем
значении функции):
b
f ( x)dx f (c)(b a)
a
b
1
f (c)
f ( x)dx
b a a
Значение f(c) называется средним
значением функции на отрезке [a,b]

12.

Теорема о среднем значении функции

13.

Формула Ньютона-Лейбница.
Определенный интеграл равен разности
значений первообразной подынтегральной
функции для верхнего и нижнего пределов
интегрирования.

14.

Методы интегрирования

15.

.
Непосредственное интегрирование
Этот способ основан на использовании свойств
определенного интеграла, приведении
подынтегрального выражения к табличной форме
путем тождественных преобразований и
применении формулы Ньютона-Лейбница.
2
Вычислить определенный интеграл:
1 x dx
0
0
2
( x 1) 2
( x 1) 2
1
1
x
dx
(
1
x
)
dx
(
x
1
)
dx
(
x
1
)
dx
(
x
1
)
dx
(1 1) 1
0
0
1
1
1
2 1
2 1 2
2
1
2
0
2

16.

Замена переменной
.
Вычислить
2
dx
4 x
0

17.

Интегрирование по частям
b
b
udv
(
uv
)
vdu
b
a
.
a
a
2
Вычислить
ln
xdx
1
2
2
1
1
dx
2
2
ln
xdx
x
ln
x
x
2
ln
2
ln
1
x
1
1
x
2 ln 2 (2 1) 2 ln 2 1

18.

Вспомогательная таблица для
интегрирования по частям

19.

Основные приложения определенного
интеграла.
Площадь плоской фигуры
b
c
b
S f
( x) f
( x) dx f ( x) f ( x) dx f ( x) f ( x) dx
ниж
1
2
2
1
верх
a
a
c