Определенный интеграл
Определенный интеграл, как предел интегральной суммы
Определенный интеграл, как предел интегральной суммы
Определенный интеграл, как предел интегральной суммы
Геометрический смысл определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Физический смысл определенного интеграла
Физический смысл определенного интеграла
Формула Ньютона - Лейбница
Формула Ньютона - Лейбница
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Замена переменной в определенном интеграле
Замена переменной в определенном интеграле
Интегрирование по частям
1.01M
Категория: МатематикаМатематика

Лекция 14. Определенный интеграл

1. Определенный интеграл

Определенный интеграл, как предел
интегральной суммы
Геометрический смысл определенного
интеграла
Физический смысл определенного интеграла
Формула Ньютона – Лейбница
Свойства определенного интеграла
Замена переменной в определенном интеграле
Интегрирование по частям

2. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]. Выполним
следующие действия:
С помощью точек x0 = a; x1; x2;…;xn = b разобьем отрезок
[a; b] на n частичных отрезков:
с1 с2
a
сn
сi
x1 x2 … хi -1 хi

xn - 1
b
В каждом частичном отрезке [xi - 1; xi] выберем
произвольную точку:
ci xi 1; xi
и найдем значение функции в ней, то есть величину f(ci ).
Умножим найденное значение функции f(ci ) на длину
соответствующего частичного отрезка xi xi xi 1:
f (ci ) xi

3. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы

Составим сумму всех таких произведений
n
Sn f (c1) x1 f (c2 ) x2 f (cn ) xn f (c i ) x i
i 1
Обозначим длину
наибольшего
Интегральная
суммачастичного отрезка: max xi
функции y = f(x) на [a; b]
Найдем предел интегральной суммы, когда n , так что
0
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не
зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные
отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется
определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и
обозначается:
b
n
a
n
( 0 ) i 1
f ( x )dx lim f (c ) x
i
i

4. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы

Верхний предел
интегрирования
b
f ( x )dx
a
[a; b] - область (отрезок)
интегрирования
Нижний предел
интегрирования
Теорема (существования определенного интеграла)
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] , то
определенный интеграл
b
f ( x )dx существует.
a
Непрерывность функции является достаточным условием ее
интегрируемости. Однако определенный интеграл может
существовать и для некоторых разрывных функций ( например
для ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное
число точек разрыва)

5. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть непрерывная неотрицательная функция y = f(x) задана на
отрезке [a; b].
Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу
– осью OX , сбоку прямыми x = a; x = b , называется
криволинейной трапецией.
Найдем площадь этой трапеции.
Составим для функции f(х) интегральную сумму на отрезке [a; b].
n
Sn f (c i ) x i
i 1
Найдем геометрический смысл этой суммы.
:

6. Геометрический смысл определенного интеграла

y
Произведение f (ci ) xi
равно площади
прямоугольника с
основанием x i и высотой
x i
f (ci )
S f (ci )
с1 с2
0
a
сi
f(ci )
сn
x1 x2 … хi -1 хi … xn - 1 b x
Сумма таких произведений: Sn
n
f (c ) x
i 1
i
i
(интегральная сумма) равна площади ступенчатой фигуры и
приближенно равна площади криволинейной трапеции: S Sn

7. Геометрический смысл определенного интеграла

С уменьшением величин
x i точность формулы
Sn S увеличивается.
y
S
0
a
b
Поэтому за точное
значение площади S
криволинейной трапеции
принимается предел, к
которому стремится
площадь ступенчатой
x фигуры Sn, когда n
неограниченно возрастает.
n
b
n
( 0 ) i 1
a
S lim Sn lim f (ci ) xi f ( x )dx
n
( 0 )

8. Физический смысл определенного интеграла

Пусть материальная
точка М перемещается под воздействием
силы F , направленной вдоль оси OX и имеющей переменную
величину F F (x )
Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси
OX из точки
х = а в точку х = b .
F
a М
сi
x1 x2 … хi -1 хi

xn - 1
b
Сила, действующая на отрезке [xi - 1; xi] меняется от точки к точке.
Но если длина отрезка xi xi xi 1 достаточно мала, то силу
на этом отрезке можно считать постоянной, равной значению
функции в произвольно выбранной точке ci xi 1; xi
Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке
равна:
Ai F (ci ) xi
xi 1; xi

9. Физический смысл определенного интеграла

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [a; b]:
n
A F ( c i ) x i
Точное значение работы А :
i 1
n
b
n
( 0 ) i 1
a
A lim F (ci ) xi F ( x )dx
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за
промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному
b
интегралу от скорости:
S v (t )dt
a
Масса неоднородного стержня на отрезке [a; b]
равна определенному интегралу от плотности:
b
m ( x )dx
a

10. Формула Ньютона - Лейбница

Теорема
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) какая
либо ее первообразная, то имеет место формула:
b
f ( x )dx F (b) F (a)
a
Формула Ньютона Лейбница
Доказательство:
Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a; b] :
a x0 x1 x2 xn 1 xn b
a
x1 x2 … хi -1 хi

xn - 1 b
F (b) F (a) F ( xn ) F ( xn 1) F ( xn 1) F ( xn 2 )
n
F ( x1 ) F ( x0 ) F ( x i ) F ( x i 1 )
i 1

11. Формула Ньютона - Лейбница

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа:
f (b ) f (a ) f (c )( b a )
c [a; b]
n
n
n
i 1
i 1
i 1
F (b ) F (a ) F (c i )( x i x i 1 ) F (c i ) x i f (c i ) x i
Переходя к пределу при
max xi 0 , получим:
b
n
F (b ) F (a ) lim f (c i ) x i f ( x )dx
0
i 1
a
sin xdx cos x cos ( cos 0)
1 ( 1) 2
0
0

12. Свойства определенного интеграла

a
b
b
a
a
Cf ( x )dx C f ( x )dx
f ( x )dx 0
a
b
b
b
a
a
a
f ( x ) ( x ) dx f ( x )dx ( x )dx
b
a
a
b
f ( x )dx f ( x )dx
Если функция f интегрируема на каждом из отрезков [a, c] и
[c, b] ( a < c < b), то она интегрируема на [a, b] и
b
c
b
a
a
c
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx

13. Свойства определенного интеграла

Теорема о среднем
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] то существует
b
точка c [a; b] такая, что
f ( x )dx f (c )(b a)
a
Это свойство имеет при f(x) > 0 следующий геометрический смысл:
b
Значение определенного интеграла S
y
равно при некотором c [a; b]
S
0
a
с
b
f ( x )dx
a
площади прямоугольника с высотой f(c) и
x основанием b – a.
b
1
называется средним значением
Число: f (c )
f
(
x
)
dx
функции f(x) на отрезке [a, b] .
b a a

14. Свойства определенного интеграла

Если функция f сохраняет знак на отрезке [a, b] то интеграл
на этом отрезке имеет тот же знак, что и функция:
b
f (x) 0
f ( x )dx 0
a
Оценка интеграла: если m и М – соответственно наименьшее и
наибольшее значения функции f(х) на отрезке [a, b] то :
b
m(b a)
M (b a )
a
y
S
М
m
0
f ( x )dx
a
b
x
Площадь криволинейной трапеции
заключена между площадями
прямоугольников, основания которых есть
отрезок [a, b] , а высоты равны m и М.

15. Свойства определенного интеграла

Производная определенного интеграла по переменному
верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой
переменная интегрирования заменена этим пределом:
x
f (t )dt
a
Доказательство:
f (x )
х
По формуле Ньютона – Лейбница:
x
f (t )dt
a
F ( x ) f ( x )
F ( x ) F (a )
х
х
Это означает также, что определенный интеграл с переменным
верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной
функции.

16. Замена переменной в определенном интеграле

b
Пусть для вычисления интеграла
f ( x )dx от непрерывной
a
функции сделана подстановка: x (t )
Теорема
Если:
1) Функция x = φ(t) и ее производная непрерывны при t [ ; ];
2) Множеством значений функции x = φ(t) при t [ ; ]
является отрезок [a; b] ;
3) ( ) a; ( ) b, то
b
f ( x )dx f ( (t )) (t )dt
a
Замечания: 1) при вычислении определенного интеграла методом
подстановки возвращаться к старой переменной не нужно.
2) Иногда вместо подстановки x = φ(t) применяют подстановку
t = q(x)

17. Замена переменной в определенном интеграле

x 2 sint
dx 2 cos t dt
2
2
2
x
4
x
dx
x 0 2 sint 0 t 0
0
x 2 2 sin t 2 t
2
2
2
4 sin2 t 4 4 sin2 t 2 cos t dt 16 sin2 t cos2 t dt
0
0
2
1
4 sin2 2t dt 2 1 cos 4t dt 2t sin 4t
2
0
0
0
1
1
sin 2 0 sin 0
2
2
2
2

18. Интегрирование по частям

Теорема
Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные
производные на отрезке [a; b] , то имеет место формула:
b
b
udv u v vdu
b
a
a
a
u ln x
dx
x
ln
xdx
1
du
x
dv xdx x 2 ln x e e x 2 dx
x2
v
2 1 1 2 x
2
e
2
2
2
e
e ln e 1 ln 1 x
e2 e2 1
2
2
4 1
2
4 4
English     Русский Правила