Определенный интеграл

1.

Определенный интеграл
Определенный интеграл, как предел
интегральной суммы
Геометрический смысл определенного
интеграла
Физический смысл определенного интеграла
Формула Ньютона – Лейбница
Свойства определенного интеграла
Замена переменной в определенном интеграле
Интегрирование по частям
1

2.

Определенный интеграл, как предел
интегральной суммы
Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]. Выполним
следующие действия:
С помощью точек x0 = a; x1; x2;…;xn = b разобьем отрезок
[a; b] на n частичных отрезков:
с1 с2
a
сn
сi
x1 x2 … хi -1 хi
…
xn - 1
b
В каждом частичном отрезке [xi - 1; xi] выберем
произвольную точку:
ci xi 1; xi
и найдем значение функции в ней, то есть величину f(ci ).
Умножим найденное значение функции f(ci ) на длину
соответствующего частичного отрезка xi xi xi 1:
f (ci ) xi
2

3.

Составим сумму всех таких произведений
n
Sn f (c1) x1 f (c2 ) x2 f (cn ) xn f (c i ) x i
i 1
Обозначим длину
наибольшего
Интегральная
суммачастичного отрезка: max xi
функции y = f(x) на [a; b]
Найдем предел интегральной суммы, когда n , так что
0
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не
зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные
отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется
определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и
обозначается:
b
f ( x )dx
a
n
lim
f (c ) x
n
( 0 ) i 1
i
i
3

4.

Верхний предел
интегрирования
b
f ( x )dx
a
[a; b] - область (отрезок)
интегрирования
Нижний предел
интегрирования
Теорема (существования определенного интеграла)
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] , то
определенный интеграл
b
f ( x )dx существует.
a
Непрерывность функции является достаточным условием ее
интегрируемости. Однако определенный интеграл может
существовать и для некоторых разрывных функций ( например
для ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное
число точек разрыва)
4

5.

Геометрический смысл определенного
интеграла
Пусть непрерывная неотрицательная функция y = f(x) задана на
отрезке [a; b].
Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу
– осью OX , сбоку прямыми x = a; x = b , называется
криволинейной трапецией.
Найдем площадь этой трапеции.
Составим для функции f(х) интегральную сумму на отрезке [a; b].
n
Sn f (c i ) x i
i 1
Найдем геометрический смысл этой суммы.
:
5

6.

y
Произведение f (ci ) xi
равно площади
прямоугольника с
основанием x i и высотой
xi
f (ci )
S f (ci )
с1 с2
0
a
сn
сi
x1 x2 … хi -1 хi
f(ci )
…
xn - 1 b x
n
Сумма таких произведений:
Sn f (c i ) x i
i 1
(интегральная сумма) равна площади ступенчатой фигуры и
приближенно равна площади криволинейной трапеции: S Sn
6

7.

Геометрический смысл определенного
интеграла
С уменьшением величин
xi точность формулы
Sn S увеличивается.
y
Поэтому за точное
значение площади S
криволинейной трапеции
принимается предел, к
которому стремится
площадь ступенчатой
x фигуры Sn, когда n
неограниченно возрастает.
S
0
a
b
S lim Sn lim
n
( 0 )
b
n
f (c ) x f ( x )dx
n
( 0 ) i 1
i
i
a
7

8.

Физический смысл определенного
интеграла
Пусть
материальная точка М перемещается по воздействием силы
F , направленной вдоль оси OX и имеющей переменную
величину F F (x )
Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси
OX из точки
х = а в точку х = b .
F
a М
сi
x1 x2 … хi -1 хi
…
xn - 1
b
Сила, действующая на отрезке [xi - 1; xi] меняется от точки к точке.
Но если длина отрезка xi xi xi 1 достаточно мала, то силу
на этом отрезке можно считать постоянной, равной значению
функции в произвольно выбранной точке ci xi 1; xi
Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке
равна:
Ai F (ci ) xi
xi 1; xi
8

9.

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [a; b]:
n
A F (c i ) x i
Точное значение работы А :
A lim
i 1
b
n
F (c ) x F ( x )dx
n
( 0 ) i 1
i
i
a
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за
промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному
b
интегралу от скорости:
S v (t )dt
a
Масса неоднородного стержня на отрезке [a; b]
равна определенному интегралу от плотности:
b
m ( x )dx
a
9

10.

Формула Ньютона - Лейбница
Теорема
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) какая
либо ее первообразная, то имеет место формула:
b
f ( x )dx F (b) F (a)
a
sin xdx
0
Формула Ньютона Лейбница
cos x 0 cos ( cos 0)
1 ( 1) 2
10

11.

Свойства определенного интеграла
a
b
b
a
a
Cf ( x )dx C f ( x )dx
f ( x )dx 0
a
b
b
b
a
a
a
f ( x ) ( x ) dx f ( x )dx ( x )dx
b
a
a
b
f ( x )dx f ( x )dx
Если функция f интегрируема на каждом из отрезков [a, c] и
[c, b] ( a < c < b), то она интегрируема на [a, b] и
b
c
b
a
a
c
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
11

12.

Теорема о среднем
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] то существует
b
точка c [a; b] такая, что
f ( x )dx f (c )(b a)
a
Это свойство имеет при f(x) > 0 следующий геометрический смысл:
b
Значение определенного интеграла
y
равно при некотором
S
0
a
с
b
a
площади прямоугольника с высотой f(c) и
x основанием b – a.
b
Число:
c [a; b]
S f ( x )dx
1
f (c )
f ( x )dx
b a a
называется средним значением
функции f(x) на отрезке [a, b] .
12

13.

Если функция f сохраняет знак на отрезке [a, b] то интеграл
на этом отрезке имеет тот же знак, что и функция:
b
f (x) 0
f ( x )dx 0
a
Оценка интеграла: если m и М – соответственно наименьшее и
наибольшее значения функции f(х) на отрезке [a, b] то :
b
m(b a)
M (b a)
a
y
S
М
m
0
f ( x )dx
a
b
x
Площадь криволинейной трапеции
заключена между площадями
прямоугольников, основания которых есть
отрезок [a, b] , а высоты равны m и М.
13

14.

Производная определенного интеграла по переменному
верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой
переменная интегрирования заменена этим пределом:
x
f (t )dt
a
f (x )
х
Это означает также, что определенный интеграл с переменным
верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной
функции.
14

15.

Замена переменной в определенном
интеграле
b
Пусть для вычисления интеграла
функции сделана подстановка:
Теорема
f ( x )dx
от непрерывной
a
x (t )
Если:
1) Функция x = φ(t) и ее производная непрерывны при t [ ; ];
2) Множеством значений функции x = φ(t) при t [ ; ]
является отрезок [a; b] ;
3) ( ) a; ( ) b, то
b
f ( x )dx f ( (t )) (t )dt
a
Замечания: 1) при вычислении определенного интеграла методом
подстановки возвращаться к старой переменной не нужно.
2) Иногда вместо подстановки x = φ(t) применяют подстановку
t = q(x)
15

16.

Пример.
x 2 sint
dx 2 cos t dt
2
2
2
x
4
x
dx
x 0 2 sint 0 t 0
0
x 2 2 sin t 2 t
2
2
2
4 sin2 t 4 4 sin2 t 2 cos t dt 16 sin2 t cos2 t dt
0
0
2
1
4 sin2 2t dt 2 1 cos 4t dt 2t sin 4t
2
0
0
0
1
1
sin 2 0 sin 0
2
2
16
2
2

17.

Интегрирование по частям
Теорема
Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные
производные на отрезке [a; b] , то имеет место формула:
b
udv u v
a
u ln x
dx
x
ln
xdx
1
du
x
2
a
b
vdu
a
dv xdx x 2 ln x e e x 2 dx
x2
v
2 1 1 2 x
2
e
2
b
2
e ln e 1 ln 1 x
2
2
4
e
1
e2 e2 1
2
4 4
17