Перпендикулярность плоскости в пространстве. Теорема о трех перпендикулярах

1.

2.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к
плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в этой плоскости.
a
S
F
A
a
N
D
H
a AS , a AF , a FS , a ND, a DH , a HN

3.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то
она перпендикулярна к этой плоскости.
a
p
p , a p,
q , a q,
a

4.

Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
М
Н
М
Н
Отрезок АН – перпендикуляр
Точка Н – основание перпендикуляра
Отрезок АМ – наклонная
Точка М – основание наклонной
Отрезок МН – проекция
наклонной на прямую а
Отрезок МН – проекция
наклонной на плоскость

5.

Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
М
Н
Н
М
Из всех расстояний от точки А
до различных точек прямой
а
плоскости
наименьшим является длина
перпендикуляра.
Расстояние от точки до
Расстояние от точки до
прямой – длина
плоскости – длина
перпендикуляра
перпендикуляра

6.

Расстояние от лампочки до земли
измеряется по перпендикуляру,
проведенному от лампочки к
плоскости земли

7.

Если две плоскости параллельны, то все точки одной
плоскости равноудалены от другой плоскости.
II
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.

8.

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой
равноудалены от этой плоскости.
a
a II
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости
называется расстоянием между прямой и параллельной
ей плоскостью.

9.

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них
проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна.
a
a b
a II
b
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно
первой, называется расстоянием между
скрещивающимися прямыми.

10.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно
первой, называется расстоянием между
скрещивающимися прямыми.
В
А

11.

Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
А
П-Р
Н
Н-я
П-я
М
a

12.

Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней,
перпендикулярна и к ее проекции.
А
П-Р
Н
Н-я
П-я
М
a

13.

Задача № 1. Из точки А к плоскости проведены две
наклонные, которые образуют со своими проекциями на
плоскость углы в 600. Угол между наклонными 900.
Найдите расстояние между основаниями наклонных, если
расстояние от точки А до плоскости равно 18 см.
A
18
К
В
600
600

14.

Задача № 2. Из точки А к плоскости проведены две
наклонные, длины которых равны 26 см и 2 133 см. Их
проекции на эту плоскость относятся как 5:4. Найдите
расстояние от точки А до плоскости .
A
2 133
26
?
В
М
С

15.

Задача № 3. Прямая АК перпендикулярна к плоскости
правильного треугольника АВС, а точка М – середина
стороны ВС. Докажите, что МК ВС.
К
П-Р
А
В
П-я
М
С
BC AМ
П-я
TTП
BC MК
Н-я

16.

Задача № 4. Отрезок АD перпендикулярен к плоскости
равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС
= 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см.
Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.
D
П-Р
В
12
П-я
А
N 6
5
С
BC AN
П-я
TTП
BC DN
Н-я
АN и DN – искомые расстояния

17.

Задача № 5. В треугольнике угол С прямой, угол А равен
600, AС=12см. DC (АВС). DC=6 5 Найдите расстояния:
а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ.
АВ СN
D
AB DN
TTП
Н-я
П-я
6 5
П-Р
CN и DN – искомые расстояния
А
С
12
600
N
В

18.

Задача № 6. Через вершину прямого угла С
равнобедренного прямоугольного треугольника АВС
проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости.
Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4
см, а СМ = 2 7 см.
М
П-Р
2 7
С
А
4
П-я
F
В
AВ СF
П-я
TTП
AВ MF
Н-я
МF – искомое расстояние

19.

Задача № 7. Один из катетов прямоугольного треугольника
равен т, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен
. Через вершину прямого угла С проведена прямая СD,
перпендикулярная к плоскости этого треугольника, СD = n.
Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.
D
П-Р
С
А
П-я
F
В
AВ СF
П-я
TTП
AВ DF
Н-я
DF – искомое расстояние