Математические основы цифровой обработки сигнала
Литература
Дискретные сигналы
Выбор
Свойства Z-преобразования
Z-изображения некоторых функций
Методы определения сигналов по его z-изображению
Преобразование точек р плоскости в точки Z-плоскости
Пусть имеется аналоговый периодический сигнал x(t)
Произведем дискретизацию аналогового сигнала с периодом T = 1 мс
Комплексные числа
Действия над комплексными числами
Комплексно-сопряженные числа
Пример
Рассчитаем отсчеты по найденным коэффициентам ДПФ с помощью формулы ОДПФ
Дискретные цепи.
Элементы линейных дискретных цепей:
рекурсивная дискретная цепь (прямая схема)
Если разностное уравнение имеет только прямые связи
Каноническая форма
Типовые звенья ДЦ
Виды соединения звеньев
Комплексная частотная характеристика
нормированная частота
Пример
Способы определения импульсной характеристики
1.13M
Категория: МатематикаМатематика

Математические основы цифровой обработки сигнала

1. Математические основы цифровой обработки сигнала

2. Литература

• Гоноровский И.С. Радиотехнические
цепи и сигналы: Учеб для вузов. – М.:
Радио и связь, 1994.
• Гольденберг Л.М. и др. Цифровая
обработка сигналов: Справочник. –
М.: Радио и связь, 1985.

3.

• Карташев В.Г. Основы теории
дискретных сигналов и цифровых
фильтров. – М.: Высшая школа, 1982.
• Солонина А.И., Улахович Д.А.,
Арбузов С.М., Соловьева Е.Б., Гук
И.И.. Основы цифровой обработки
сигналов: Курс лекций. – СПб.: БХВПетербург, 2003.

4. Дискретные сигналы

5.

• Аналоговый сигнал – непрерывная или кусочнонепрерывная функция x(t)
• Дискретный сигнал (ДС) – последовательность
отсчетов функции x(t), взятой в определенные
моменты времени: 0Т, 1Т, 2Т, …, nТ, где Т –
интервал времени, через которые берутся
отсчеты (период дискретизации)
• Дискретизация аналогового сигнала – процесс
преобразования аналогового сигнала в
последовательность временных отсчетов

6.

Дискретизация осуществляется
управляемым электронным ключом
2
д
T
xд t
n
x nT t nT
Дискретный сигнал -последовательность
отсчетов
x(nT ) x(n) x0 , x1 ,...xn

7.

Теорема Котельникова
Если функция x(t) имеет спектр, ограниченный
некоторой частотой в, то сигнал x(t) может
быть полностью восстановлен по его отсчетам,
взятым через время
T
в
sin в t nT
x t x nT
t
nT
n
в

8. Выбор

1)
1)
2)
Д
Искажение спектра
ведет к искажению
сигнала
Сигнал невозможно
восстановить по его
отсчетам

9.

Пример
Дан прямоугольный импульс. Выполнить
его дискретизацию, построить диаграмму
ДС, записать числовой массив ДС, если:
Е 1 В
u(t)
Е
0
tи 100 мкс
fв 25кГц
- верхняя
граница спектра

t
Частота дискретизацииf д 2fв 50кГц

10.

период дискретизации
1
1
T
20мкс
3
fд 50 10
1
u(nT)
Число отсчетов
tи 100 10 6
N
5
6
T
20 10
0
100 t , мкс
Числовой массив ДС:
u(nT ) 1; 1; 1; 1; 1

11.

Дискретные непериодические сигналы
Преобразование Фурье
X д j
j nТ
x nT e
n 0
позволяет определить спектр дискретного
сигнала по последовательности его отсчетов
1
x nT
д
0,5 д
0,5 д
X д j e
j nT
d

12.

Связь между спектрами аналогового и
дискретного непериодических сигналов

1
j
X j k д
T k
Спектр дискретного сигнала представляет собой
периодическое повторение спектра аналогового
сигнала с периодом повторения равным частоте
дискретизации:

13.

Z-преобразование дискретного сигнала
получаются из формул преобразования Фурье для
дискретного сигнала путем замены:
X z
x n z n
z e
j T
n 0
1
x n
2 j
дискретный сигнал
n 1
X z z dz
c
x(n) 2,3,1,4
его ZX (z) 2 3 z 1 1 z 2 4 z 3
изображение

14. Свойства Z-преобразования

1. Свойство однозначности: каждой
последовательности x i n соответствует
одно и только одно z-преобразование.
2. Линейность:
a1 x 1 nT a2 x 2 nT a1 X 1 z a2 X 2 z

15.

3. Теорема запаздывания:
если x n X z , тогда
m
x n m X z z
4.
m
n 0
Теорема свертки: свертка
соответствует
умножению
преобразований
сигналов
их
z-
x1 n x 2 m n X 1 z X 2 z

16.

Пример
Выполнить линейную свертку
входного сигнала x(n) 1; 2; 3 и
импульсной характеристики
h(n) a; b; c
Решение
длина выходной последовательности
Ny N x Nh 1
N x 3 - длина входной последовательности
Nh 3 - длина импульсной характеристики

17.

Ny N x Nh 1 3 3 1 5
y (m)
m
x(n) h(m n)
m 0, 1, 2, 3, 4
n 0
y(0) x(0) h(0) 1 a
y (1) x(0) h(1) x(1) h(0) 1 b 2 a
y(2) x(0) h(2) x(1) h(1) x(2) h(0)
1 c 2 b 3 a
y (3) x(0) h(3) x(1) h(2) x(2) h(1)
x(3) h(0) x(1) h(2) x(2) h(1)
2 c 3 b

18.

y (4) x(0) h(4) x(1) h(3) x(2) h(2)
x(3) h(1) x(4) h(0) x(2) h(2) 3 c
y (n)
1a; 1b 2a; 1c 2b 3a; 2c 3b; 3c
X (z) 1 2 z 1 3z 2
H(z) a bz
Y ( z) X ( z)H( z)
1 2 z 1 3 z 2
1a (1b 2a)z
(2c 3b)z
3
1
cz
2
a bz 1 cz 2
1
(1c 2b 3a)z
3cz
4
2

19. Z-изображения некоторых функций

X z
x n
1, n 0
(n)
0, n 0
1, n m
(n m)
0, n m
1
z
m
1, n 0
u(n)
0, n 0
1
1 z 1
1, n m
u(n m)
0, n m
z m
1
1 z
a
n
1
1 az 1

20. Методы определения сигналов по его z-изображению

Методы определения сигналов по его zизображению
1. С помощью теоремы вычетов
2.Приведение функции
X z к табличной
3. Метод непрерывного деления полинома
числителя на полином знаменателя
Если
X (z) 0,5z 1 0,2 z 2 0, 8 z 4 0,1z 5
то
x(n) 0 ; 0,5 ; 0,2 ; 0 ; 0, 8 ;0,1

21.

• использование теоремы о вычетах
W ( z)
если X (z) z
V ( z)
W(z)
Аk lim z zk
z zK
V(z)
где zk полюс X(z)
тогда x(n)
Q
Ak zk
n
k 0
Пример
2
z 0, 6 z 0, 08
X (z) 2
z 0, 8 z 0,15

22.

Решение: приведем X(z) к виду
W ( z)
z2 0, 6 z 0, 08
X ( z) z
z
V ( z)
z z2 0, 8 z 0,15
полюсы X(z):
z z2 0, 8 z 0,15 0
z1 0; z2 0,5; z3 0, 3
тогда:
2
z 0, 6 z 0, 08
X ( z) z
z z 0,5 z 0, 3

23.

коэффициентыАk :
z2 0, 6 z 0, 08
A1 lim z 0
z 0
z z 0,5 z 0, 3
0, 08
0,533
0,15
2
z 0, 6 z 0, 08
A2 lim z 0,5
z 0,5
z z 0,5 z 0, 3
0, 03
0, 3
0,1

24.

2
z 0, 6 z 0, 08
A3 lim z 0, 3
z 0,3
z z 0,5 z 0, 3
0, 01
0,167
0, 06
дискретный
сигнал
x(n) 0,533 0 0, 3 0,5 0,16 0, 3
n
n
n

25.

отчеты ДС:
x(0) 0,533 0 0, 3 0,5 0,16 0, 3
0
0
0
0, 993
x(1) 0, 3 0,5 0,16 0, 3 0,198
1
1
x(2) 0, 3 0,5 0,16 0, 3 0, 089
2
2
х n 0,993; 0,198; 0,089; ...

26.

Пример
Приведение функции к табличной
1
0,5
z
1
1
Х z
0,5 z
1
1
1 0,1z
1 0,1 z
х n 0, n 0
х n 0,5 0,1
n 1
,
n 1
х n 0; 0,5; 0,05; 0,005...

27.

Пример
5z3 2 z 1
X ( z)
3
z 1
3
5z 2 z 1 z3 1
5z3 5
5
2z 4
5 2z
z3 1
2
4 z 3 2 z 5
2 z 2 z 2 2z 2
3
z 1
4 2z
4 4z 3 4z 3
2
2
2 z 4 z
3
3
z 1
2 z 2 2 z 5 2z 5
x(n) 5; 0; 2; 4; 0; 2...

28.

Преобразование Лапласа
X p
x n e
pT
pnT
0
z e
1
p ln z
T
Z-преобразование
X z
p j
n
x n z
n 0
Преобразование Фурье
X j
n 0
j nT
x n e
z e
j T

29. Преобразование точек р плоскости в точки Z-плоскости

Преобразование точек р плоскости в точки Zплоскости
p j
z e
pT
e
z x jy
j T
e
T
e
j T
re
j
- комплексное число
При движении точки на плоскости Р вдоль оси
j , т.е. при 0 , соответствующая ей точка
плоскости Z описывает окружность единичного
радиуса

30.

Один оборот соответствует
изменению частоты
2
1 1
T
При движении точки р1 вдоль оси
пределах от до точка z1
описывает бесконечное число
окружностей
j в

31.


Взаимно-однозначное отображение p на z
существует только для полосы р - плоскости в
пределах Т (левая полуплоскость - внутрь
единичного круга, правая – во всю остальную zплоскость)
Все параллельные полосы р-плоскости такой
же ширины также отображаются на всю zплоскость.
1
p ln z
T
С помощью
ряда Тейлора
2 z 1
p
T z 1
Билинейное Zпреобразование

32. Пусть имеется аналоговый периодический сигнал x(t)

Дискретные периодические сигналы
Пусть имеется аналоговый периодический сигнал x(t)
1
0
ха t
t и 4mc
t с 16mc

t

Х а
2 2
tc tи
U m 1B
q 4
Спектр дискретный

33. Произведем дискретизацию аналогового сигнала с периодом T = 1 мс

Дискретизация периодического сигнала
осуществляется на интервале, равном его
периоду t с

N
16
хд t
T
1
- число отсчетов
сигнала на

0
периоде

t
x n 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

34.

X д
2
tc
2
T
В силу периодичности сигнала, его спектр –
дискретный, а так как сигнал дискретный, то
его спектр периодический в частотной
области

35.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
X k
N 1
x n
2
j
kn
e N
n 0
1
x n
N
N 1
X k e
2
j
kn
N
k 0
для дискретного периодического сигнала,
имеющего периодический дискретный спектр
Число отсчетов сигнала и
число отсчетов его спектра
одинаковы на периоде
повторения
д

N
1
Т

36.

Огибающая спектра периодического
дискретного сигнала совпадает со спектром
дискретного непериодического сигнала.
Можно определить спектр непериодического
сигнала, используя ДПФ, для этого
необходимо сделать его периодическим

37. Комплексные числа

+j
Переход от одной
формы к другой
A
b
A
+1
a
Алгебраическая форма записи
числа
A a jb
Показательная форма записи
числа
j
A A e
a2 b 2
b
arctg
a
a A cos
b A sin
j
1

38. Действия над комплексными числами

1.
Сложение и вычитание (в алгебраической форме)
A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
2.
Умножение (в показательной форме)
A1 A2 A1 A2 e
3.
j ( 1 2 )
Деление (в показательной форме)
A1
A1
j (
e
A2
A2
1
2)

39. Комплексно-сопряженные числа

4. Извлечение корня
A
A e
j
1
j
j
A e
1 1e
j
2
j
j 180
j1 1e
j 90
1 1e
j 1
2
1 j 1e
j0
j 90
Комплексно-сопряженные числа
A a jb A e
*
A a jb A e
j
j
*
A A a2 b2 A2

40. Пример

х n
0
1 2 3
Применить прямое ДПФ к сигналу
x(n) 1;0;1;0
n
и ОДПФ к полученным
коэффициентам ДПФ
Делаем сигнал периодическим
х n
0
1 2 3
x(n) 1;0;1;0; 1;0;1;0;...
n

41.

X k
3
x n
2
j
kn
e 4
n 0
k 0
0e
j 0 0
1e 2
j 0 3
0e 2
X j1 1e
j 1 3
2
x n
j kn
e 2
n 0
X ( j 0)
j 0 2
1e 2
3
j 1 0
2
j 0 1
0e 2
1 0 1 0 0
0 e
j 1 1
2
1e
j 1 2
2
1 0 1 0 2 2e
j

42.

X j2 1e
0e
j 2 3
2
0e
0e
j 2 1
2
1e
j 2 2
2
1 0 1 0 0
X j 3 1e
j 3 3
2
j 2 0
2
j 3 0
2
0e
j 3 1
2
1e
j 3 2
2
1 0 1 0 2 2e
j
j
X k 0; 2e ; 0; 2e
j

43.

Спектр дискретного периодического сигнала
X k
0 1 2 3
х k
k
0
2 3
k
Спектр дискретного непериодического сигнала
X
0
х
д
0
д

44. Рассчитаем отсчеты по найденным коэффициентам ДПФ с помощью формулы ОДПФ

x n по
Рассчитаем отсчеты
найденным коэффициентам ДПФ с
помощью формулы ОДПФ
3
1
x(n)
X ( jk )e
4 k 0
j
2
nk
4
1
1
x(0) (0 ( 2) 0 ( 2)) 4 1
4
4
j
2e 2
1
x(1) (0
0
4
1
( j2 j2) 0
4
3
j
2e 2 )

45.

j2
2e 2
1
x(2) (0
4
1
(2 2) 1
4
1
x(3) (0 2e
4
1
( j2 j2) 0
4
j
3
2
0
3
j2
2e 2 )
0 2e
x(n) 1;0;1;0
j3
3
2 )

46. Дискретные цепи.

47.

Дискретная цепь (ДЦ) – любая система (цепь),
преобразующая одну последовательность х(n) в
другую y(n).
Свойства ДЦ:
линейность– выходная реакция на сумму ДС
равна сумме реакций на эти сигналы
стационарность – задержка входного ДС
приводит лишь к такой же задержке выходного
ДС

48. Элементы линейных дискретных цепей:

x1 nT
Сумматор
умножитель
Блок памяти с
задержкой на 1
период
дискретизации
x1 nT x2 nT
+
x2 nT
x nT
а
bx nT
аx nT
x nT
x nT
x n 1 T
Т
b

49. рекурсивная дискретная цепь (прямая схема)

y n
M
Разностное уравнение
am x n m
m 0
прямая связь
S
bs y n s
s 1
обратная связь
рекурсивная
дискретная
цепь
(прямая схема)
bs

50. Если разностное уравнение имеет только прямые связи

нерекурсивная цепь
y n
M
m 0
am x n m

51. Каноническая форма

52. Типовые звенья ДЦ

2-го порядка
1-го порядка
нерекурсивные
рекурсивные

53. Виды соединения звеньев

1. Каскадное
H(z) H1(z) H2 (z)
2. Параллельное
H(z) H1(z) H2 (z)
3. С обратной связью
z
H
1
H z
1 H1 z H2 z

54.

Системные характеристики дискретных
цепей
Передаточная функция
может быть получена путем Z-преобразования
разностного уравнения
y n а0 x n a1 x n 1 a2 x n 2
b1y n 1 b2y n 2
Y z a0 Х z a1 z 1 Х z a2 z 2 Х z
b1 z 1Y z bz 2Y z

55.

Y z a0 a1 z 1 a2 z 2
H z
1
2
Х z
1 b1 z b2 z
Для рекурсивной цепи
M
H z
a
H z
M
a
m 0
m
z
m
z
m 0
1
Для нерекурсивной цепи
m
m
S
b
s 1
s
z
s

56. Комплексная частотная характеристика

z
M
H j
a
m
e
m 0
S
1
b
S
n
e
jn T
jm T
e
js T
s 1
H j
M
a
m 0
m
e
jm T

57.

1
2
a
a
z
a
z
0
1
2
H z
1 b1 z 1 b2 z 2
a0 a1e j T a2 e j 2 T
H j
j T
j 2 T
1 b1e
b2e
a0 a1 cos T j sin T a2 cos2 T j sin2 T
1 b1 cos T j sin T b2 cos2 T j sin2 T
A1 jA2
B1 jB2
H
A12 A22
2
B1
2
B2
A
B
2
arctg
arctg 2
A1
B1

58. нормированная частота

Частотные характеристики ДЦ –
периодические функции с периодом, равным
частоте дискретизации
f
д fд
нормированная частота
e
j T
e
2
j
д
e
j 2
Достаточно рассчитать
частотную характеристику в
диапазоне
0 д
0 1
T
0 2

59. Пример

Устойчивость ДЦ
Если полюсы передаточной функции цепи H(z)
находятся внутри окружности единичного
радиуса на комплексной плоскости z, то цепь
устойчива
1
0,5
z
H z
1 0,1z 1
1 0,1z 1 0
z 0,1 0
z 0,1 цепь устойчива

60.

Импульсная характеристика дискретной
цепи h(n)
– реакция дискретной цепи на сигнал в виде
дискретной δ-функции
1,
n
0,
n 0
n 0
(n) 1;0;0...0
h n y n
при
x n n

61.

Способы определения импульсной
характеристики
1. По разностному уравнению
Пример
y (n) 0,32 x(n 1) 0, 4y(n 1)
x n (n) 1; 0; 0; 0;...
h(n) 0,32 (n 1) 0, 4h(n 1)
n 0,
h(0) 0

62.

n 1,
h(1) 0,32 (0) 0,4 h(0) 0,32
n 2, h(2) 0,32 (1) 0, 4 h(1)
0,32 0 0, 4 0,32 0,128
n 3,
h(3) 0,32 0 0,4 0,128 0,0512
h(n) 0; 0,32; 0,128; 0,0512; ...
2. Выполнив обратное Z-преобразование H(z)

63. Способы определения импульсной характеристики

цепь
нерекурсивная
рекурсивная
H(z)
полином
отношение
полиномов
h(n)
имеет конечное
число отсчетов
имеет бесконечное
число отсчетов
Назва- схема с
ние
конечной
импульсной
характеристикой
или КИХ-фильтр
схема с
бесконечной
импульсной
характеристикой или
БИХ-фильтр

64.

Определение сигнала на выходе ДЦ
1. Выполнив свертку последовательностей
x(n) и h(n)
y m
m
x n h m n
n 0
2. Определив Y z X z H z и
выполнив обратное Z-преобразование
3. По разностному уравнению
4. Определив Y jk 1 X jk 1 H jk. 1
Для расчетов применяют ДПФ и ОДПФ.
English     Русский Правила