Математические основы цифровой обработки сигнала

1. Математические основы цифровой обработки сигнала

2. Литература

• Гоноровский И.С. Радиотехнические
цепи и сигналы: Учеб для вузов. – М.:
Радио и связь, 1994.
• Гольденберг Л.М. и др. Цифровая
обработка сигналов: Справочник. –
М.: Радио и связь, 1985.

3.

• Карташев В.Г. Основы теории
дискретных сигналов и цифровых
фильтров. – М.: Высшая школа, 1982.
• Солонина А.И., Улахович Д.А.,
Арбузов С.М., Соловьева Е.Б., Гук
И.И.. Основы цифровой обработки
сигналов: Курс лекций. – СПб.: БХВПетербург, 2003.

4. Дискретные сигналы

5.

• Аналоговый сигнал – непрерывная или кусочнонепрерывная функция x(t)
• Дискретный сигнал (ДС) – последовательность
отсчетов функции x(t), взятой в определенные
моменты времени: 0Т, 1Т, 2Т, …, nТ, где Т –
интервал времени, через которые берутся
отсчеты (период дискретизации)
• Дискретизация аналогового сигнала – процесс
преобразования аналогового сигнала в
последовательность временных отсчетов

6.

Дискретизация осуществляется
управляемым электронным ключом
2
д
T
xд t
n
x nT t nT
Дискретный сигнал -последовательность
отсчетов
x(nT ) x(n) x0 , x1 ,...xn

7.

Теорема Котельникова
Если функция x(t) имеет спектр, ограниченный
некоторой частотой в, то сигнал x(t) может
быть полностью восстановлен по его отсчетам,
взятым через время
T
в
sin в t nT
x t x nT
t
nT
n
в

8. Выбор

1)
1)
2)
Д
Искажение спектра
ведет к искажению
сигнала
Сигнал невозможно
восстановить по его
отсчетам

9.

Пример
Дан прямоугольный импульс. Выполнить
его дискретизацию, построить диаграмму
ДС, записать числовой массив ДС, если:
Е 1 В
u(t)
Е
0
tи 100 мкс
fв 25кГц
- верхняя
граница спектра
tи
t
Частота дискретизацииf д 2fв 50кГц

10.

период дискретизации
1
1
T
20мкс
3
fд 50 10
1
u(nT)
Число отсчетов
tи 100 10 6
N
5
6
T
20 10
0
100 t , мкс
Числовой массив ДС:
u(nT ) 1; 1; 1; 1; 1

11.

Дискретные непериодические сигналы
Преобразование Фурье
X д j
j nТ
x nT e
n 0
позволяет определить спектр дискретного
сигнала по последовательности его отсчетов
1
x nT
д
0,5 д
0,5 д
X д j e
j nT
d

12.

Связь между спектрами аналогового и
дискретного непериодических сигналов
Xд
1
j
X j k д
T k
Спектр дискретного сигнала представляет собой
периодическое повторение спектра аналогового
сигнала с периодом повторения равным частоте
дискретизации:

13.

Z-преобразование дискретного сигнала
получаются из формул преобразования Фурье для
дискретного сигнала путем замены:
X z
x n z n
z e
j T
n 0
1
x n
2 j
дискретный сигнал
n 1
X z z dz
c
x(n) 2,3,1,4
его ZX (z) 2 3 z 1 1 z 2 4 z 3
изображение

14. Свойства Z-преобразования

1. Свойство однозначности: каждой
последовательности x i n соответствует
одно и только одно z-преобразование.
2. Линейность:
a1 x 1 nT a2 x 2 nT a1 X 1 z a2 X 2 z

15.

3. Теорема запаздывания:
если x n X z , тогда
m
x n m X z z
4.
m
n 0
Теорема свертки: свертка
соответствует
умножению
преобразований
сигналов
их
z-
x1 n x 2 m n X 1 z X 2 z

16.

Пример
Выполнить линейную свертку
входного сигнала x(n) 1; 2; 3 и
импульсной характеристики
h(n) a; b; c
Решение
длина выходной последовательности
Ny N x Nh 1
N x 3 - длина входной последовательности
Nh 3 - длина импульсной характеристики

17.

Ny N x Nh 1 3 3 1 5
y (m)
m
x(n) h(m n)
m 0, 1, 2, 3, 4
n 0
y(0) x(0) h(0) 1 a
y (1) x(0) h(1) x(1) h(0) 1 b 2 a
y(2) x(0) h(2) x(1) h(1) x(2) h(0)
1 c 2 b 3 a
y (3) x(0) h(3) x(1) h(2) x(2) h(1)
x(3) h(0) x(1) h(2) x(2) h(1)
2 c 3 b

18.

y (4) x(0) h(4) x(1) h(3) x(2) h(2)
x(3) h(1) x(4) h(0) x(2) h(2) 3 c
y (n)
1a; 1b 2a; 1c 2b 3a; 2c 3b; 3c
X (z) 1 2 z 1 3z 2
H(z) a bz
Y ( z) X ( z)H( z)
1 2 z 1 3 z 2
1a (1b 2a)z
(2c 3b)z
3
1
cz
2
a bz 1 cz 2
1
(1c 2b 3a)z
3cz
4
2

19. Z-изображения некоторых функций

X z
x n
1, n 0
(n)
0, n 0
1, n m
(n m)
0, n m
1
z
m
1, n 0
u(n)
0, n 0
1
1 z 1
1, n m
u(n m)
0, n m
z m
1
1 z
a
n
1
1 az 1

20. Методы определения сигналов по его z-изображению

Методы определения сигналов по его zизображению
1. С помощью теоремы вычетов
2.Приведение функции
X z к табличной
3. Метод непрерывного деления полинома
числителя на полином знаменателя
Если
X (z) 0,5z 1 0,2 z 2 0, 8 z 4 0,1z 5
то
x(n) 0 ; 0,5 ; 0,2 ; 0 ; 0, 8 ;0,1

21.

• использование теоремы о вычетах
W ( z)
если X (z) z
V ( z)
W(z)
Аk lim z zk
z zK
V(z)
где zk полюс X(z)
тогда x(n)
Q
Ak zk
n
k 0
Пример
2
z 0, 6 z 0, 08
X (z) 2
z 0, 8 z 0,15

22.

Решение: приведем X(z) к виду
W ( z)
z2 0, 6 z 0, 08
X ( z) z
z
V ( z)
z z2 0, 8 z 0,15
полюсы X(z):
z z2 0, 8 z 0,15 0
z1 0; z2 0,5; z3 0, 3
тогда:
2
z 0, 6 z 0, 08
X ( z) z
z z 0,5 z 0, 3

23.

коэффициентыАk :
z2 0, 6 z 0, 08
A1 lim z 0
z 0
z z 0,5 z 0, 3
0, 08
0,533
0,15
2
z 0, 6 z 0, 08
A2 lim z 0,5
z 0,5
z z 0,5 z 0, 3
0, 03
0, 3
0,1

24.

2
z 0, 6 z 0, 08
A3 lim z 0, 3
z 0,3
z z 0,5 z 0, 3
0, 01
0,167
0, 06
дискретный
сигнал
x(n) 0,533 0 0, 3 0,5 0,16 0, 3
n
n
n

25.

отчеты ДС:
x(0) 0,533 0 0, 3 0,5 0,16 0, 3
0
0
0
0, 993
x(1) 0, 3 0,5 0,16 0, 3 0,198
1
1
x(2) 0, 3 0,5 0,16 0, 3 0, 089
2
2
х n 0,993; 0,198; 0,089; ...

26.

Пример
Приведение функции к табличной
1
0,5
z
1
1
Х z
0,5 z
1
1
1 0,1z
1 0,1 z
х n 0, n 0
х n 0,5 0,1
n 1
,
n 1
х n 0; 0,5; 0,05; 0,005...

27.

Пример
5z3 2 z 1
X ( z)
3
z 1
3
5z 2 z 1 z3 1
5z3 5
5
2z 4
5 2z
z3 1
2
4 z 3 2 z 5
2 z 2 z 2 2z 2
3
z 1
4 2z
4 4z 3 4z 3
2
2
2 z 4 z
3
3
z 1
2 z 2 2 z 5 2z 5
x(n) 5; 0; 2; 4; 0; 2...

28.

Преобразование Лапласа
X p
x n e
pT
pnT
0
z e
1
p ln z
T
Z-преобразование
X z
p j
n
x n z
n 0
Преобразование Фурье
X j
n 0
j nT
x n e
z e
j T

29. Преобразование точек р плоскости в точки Z-плоскости

Преобразование точек р плоскости в точки Zплоскости
p j
z e
pT
e
z x jy
j T
e
T
e
j T
re
j
- комплексное число
При движении точки на плоскости Р вдоль оси
j , т.е. при 0 , соответствующая ей точка
плоскости Z описывает окружность единичного
радиуса

30.

Один оборот соответствует
изменению частоты
2
1 1
T
При движении точки р1 вдоль оси
пределах от до точка z1
описывает бесконечное число
окружностей
j в

31.

Взаимно-однозначное отображение p на z
существует только для полосы р - плоскости в
пределах Т (левая полуплоскость - внутрь
единичного круга, правая – во всю остальную zплоскость)
Все параллельные полосы р-плоскости такой
же ширины также отображаются на всю zплоскость.
1
p ln z
T
С помощью
ряда Тейлора
2 z 1
p
T z 1
Билинейное Zпреобразование

32. Пусть имеется аналоговый периодический сигнал x(t)

Дискретные периодические сигналы
Пусть имеется аналоговый периодический сигнал x(t)
1
0
ха t
t и 4mc
t с 16mc
tи
t
tс
Х а
2 2
tc tи
U m 1B
q 4
Спектр дискретный

33. Произведем дискретизацию аналогового сигнала с периодом T = 1 мс

Дискретизация периодического сигнала
осуществляется на интервале, равном его
периоду t с
tс
N
16
хд t
T
1
- число отсчетов
сигнала на
tс
0
периоде
tи
t
x n 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

34.

X д
2
tc
2
T
В силу периодичности сигнала, его спектр –
дискретный, а так как сигнал дискретный, то
его спектр периодический в частотной
области

35.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
X k
N 1
x n
2
j
kn
e N
n 0
1
x n
N
N 1
X k e
2
j
kn
N
k 0
для дискретного периодического сигнала,
имеющего периодический дискретный спектр
Число отсчетов сигнала и
число отсчетов его спектра
одинаковы на периоде
повторения
д
tс
N
1
Т

36.

Огибающая спектра периодического
дискретного сигнала совпадает со спектром
дискретного непериодического сигнала.
Можно определить спектр непериодического
сигнала, используя ДПФ, для этого
необходимо сделать его периодическим

37. Комплексные числа

+j
Переход от одной
формы к другой
A
b
A
+1
a
Алгебраическая форма записи
числа
A a jb
Показательная форма записи
числа
j
A A e
a2 b 2
b
arctg
a
a A cos
b A sin
j
1

38. Действия над комплексными числами

1.
Сложение и вычитание (в алгебраической форме)
A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
2.
Умножение (в показательной форме)
A1 A2 A1 A2 e
3.
j ( 1 2 )
Деление (в показательной форме)
A1
A1
j (
e
A2
A2
1
2)

39. Комплексно-сопряженные числа

4. Извлечение корня
A
A e
j
1
j
j
A e
1 1e
j
2
j
j 180
j1 1e
j 90
1 1e
j 1
2
1 j 1e
j0
j 90
Комплексно-сопряженные числа
A a jb A e
*
A a jb A e
j
j
*
A A a2 b2 A2

40. Пример

х n
0
1 2 3
Применить прямое ДПФ к сигналу
x(n) 1;0;1;0
n
и ОДПФ к полученным
коэффициентам ДПФ
Делаем сигнал периодическим
х n
0
1 2 3
x(n) 1;0;1;0; 1;0;1;0;...
n

41.

X k
3
x n
2
j
kn
e 4
n 0
k 0
0e
j 0 0
1e 2
j 0 3
0e 2
X j1 1e
j 1 3
2
x n
j kn
e 2
n 0
X ( j 0)
j 0 2
1e 2
3
j 1 0
2
j 0 1
0e 2
1 0 1 0 0
0 e
j 1 1
2
1e
j 1 2
2
1 0 1 0 2 2e
j

42.

X j2 1e
0e
j 2 3
2
0e
0e
j 2 1
2
1e
j 2 2
2
1 0 1 0 0
X j 3 1e
j 3 3
2
j 2 0
2
j 3 0
2
0e
j 3 1
2
1e
j 3 2
2
1 0 1 0 2 2e
j
j
X k 0; 2e ; 0; 2e
j

43.

Спектр дискретного периодического сигнала
X k
0 1 2 3
х k
k
0
2 3
k
Спектр дискретного непериодического сигнала
X
0
х
д
0
д

44. Рассчитаем отсчеты по найденным коэффициентам ДПФ с помощью формулы ОДПФ

x n по
Рассчитаем отсчеты
найденным коэффициентам ДПФ с
помощью формулы ОДПФ
3
1
x(n)
X ( jk )e
4 k 0
j
2
nk
4
1
1
x(0) (0 ( 2) 0 ( 2)) 4 1
4
4
j
2e 2
1
x(1) (0
0
4
1
( j2 j2) 0
4
3
j
2e 2 )

45.

j2
2e 2
1
x(2) (0
4
1
(2 2) 1
4
1
x(3) (0 2e
4
1
( j2 j2) 0
4
j
3
2
0
3
j2
2e 2 )
0 2e
x(n) 1;0;1;0
j3
3
2 )

46. Дискретные цепи.

47.

Дискретная цепь (ДЦ) – любая система (цепь),
преобразующая одну последовательность х(n) в
другую y(n).
Свойства ДЦ:
линейность– выходная реакция на сумму ДС
равна сумме реакций на эти сигналы
стационарность – задержка входного ДС
приводит лишь к такой же задержке выходного
ДС

48. Элементы линейных дискретных цепей:

x1 nT
Сумматор
умножитель
Блок памяти с
задержкой на 1
период
дискретизации
x1 nT x2 nT
+
x2 nT
x nT
а
bx nT
аx nT
x nT
x nT
x n 1 T
Т
b

49. рекурсивная дискретная цепь (прямая схема)

y n
M
Разностное уравнение
am x n m
m 0
прямая связь
S
bs y n s
s 1
обратная связь
рекурсивная
дискретная
цепь
(прямая схема)
bs

50. Если разностное уравнение имеет только прямые связи

нерекурсивная цепь
y n
M
m 0
am x n m

51. Каноническая форма

52. Типовые звенья ДЦ

2-го порядка
1-го порядка
нерекурсивные
рекурсивные

53. Виды соединения звеньев

1. Каскадное
H(z) H1(z) H2 (z)
2. Параллельное
H(z) H1(z) H2 (z)
3. С обратной связью
z
H
1
H z
1 H1 z H2 z

54.

Системные характеристики дискретных
цепей
Передаточная функция
может быть получена путем Z-преобразования
разностного уравнения
y n а0 x n a1 x n 1 a2 x n 2
b1y n 1 b2y n 2
Y z a0 Х z a1 z 1 Х z a2 z 2 Х z
b1 z 1Y z bz 2Y z

55.

Y z a0 a1 z 1 a2 z 2
H z
1
2
Х z
1 b1 z b2 z
Для рекурсивной цепи
M
H z
a
H z
M
a
m 0
m
z
m
z
m 0
1
Для нерекурсивной цепи
m
m
S
b
s 1
s
z
s

56. Комплексная частотная характеристика

z
M
H j
a
m
e
m 0
S
1
b
S
n
e
jn T
jm T
e
js T
s 1
H j
M
a
m 0
m
e
jm T

57.

1
2
a
a
z
a
z
0
1
2
H z
1 b1 z 1 b2 z 2
a0 a1e j T a2 e j 2 T
H j
j T
j 2 T
1 b1e
b2e
a0 a1 cos T j sin T a2 cos2 T j sin2 T
1 b1 cos T j sin T b2 cos2 T j sin2 T
A1 jA2
B1 jB2
H
A12 A22
2
B1
2
B2
A
B
2
arctg
arctg 2
A1
B1

58. нормированная частота

Частотные характеристики ДЦ –
периодические функции с периодом, равным
частоте дискретизации
f
д fд
нормированная частота
e
j T
e
2
j
д
e
j 2
Достаточно рассчитать
частотную характеристику в
диапазоне
0 д
0 1
T
0 2

59. Пример

Устойчивость ДЦ
Если полюсы передаточной функции цепи H(z)
находятся внутри окружности единичного
радиуса на комплексной плоскости z, то цепь
устойчива
1
0,5
z
H z
1 0,1z 1
1 0,1z 1 0
z 0,1 0
z 0,1 цепь устойчива

60.

Импульсная характеристика дискретной
цепи h(n)
– реакция дискретной цепи на сигнал в виде
дискретной δ-функции
1,
n
0,
n 0
n 0
(n) 1;0;0...0
h n y n
при
x n n

61.

Способы определения импульсной
характеристики
1. По разностному уравнению
Пример
y (n) 0,32 x(n 1) 0, 4y(n 1)
x n (n) 1; 0; 0; 0;...
h(n) 0,32 (n 1) 0, 4h(n 1)
n 0,
h(0) 0

62.

n 1,
h(1) 0,32 (0) 0,4 h(0) 0,32
n 2, h(2) 0,32 (1) 0, 4 h(1)
0,32 0 0, 4 0,32 0,128
n 3,
h(3) 0,32 0 0,4 0,128 0,0512
h(n) 0; 0,32; 0,128; 0,0512; ...
2. Выполнив обратное Z-преобразование H(z)

63. Способы определения импульсной характеристики

цепь
нерекурсивная
рекурсивная
H(z)
полином
отношение
полиномов
h(n)
имеет конечное
число отсчетов
имеет бесконечное
число отсчетов
Назва- схема с
ние
конечной
импульсной
характеристикой
или КИХ-фильтр
схема с
бесконечной
импульсной
характеристикой или
БИХ-фильтр

64.

Определение сигнала на выходе ДЦ
1. Выполнив свертку последовательностей
x(n) и h(n)
y m
m
x n h m n
n 0
2. Определив Y z X z H z и
выполнив обратное Z-преобразование
3. По разностному уравнению
4. Определив Y jk 1 X jk 1 H jk. 1
Для расчетов применяют ДПФ и ОДПФ.