Предельные теоремы теории вероятностей. Урок 27

1. Предельные теоремы теории вероятностей урок 27

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
УРОК 27

2.

При изучении результатов наблюдений
над реальными случайными
массовыми явлениями выявлены
некоторые закономерности.
Свойство устойчивости массовых
случайных явлений означает, что
конкретные особенности каждого
отдельного случайного явления почти
не сказываются на среднем результате
таких явлений в общей совокупности.

3. Предельные теоремы

Предельные теоремы вероятностей
устанавливают зависимость между
случайностью и необходимостью.
По смыслу их разбивают на две группы:
Закон больших чисел
Центральная предельная теорема

4.

Под законом больших чисел в
узком смысле
понимается несколько математических
теорем, в каждой из которых для тех или
иных условий устанавливается факт
приближения средних характеристик
большого числа опытов к некоторым
определенным постоянным.

5. Закон БОЛЬШИХ чисел

Из данной группы теорем следует:
При очень большом числе случайных
явлений средний их результат
практически перестаёт быть случайным и
может быть предсказан с большой
степенью вероятности.

6. Неравенство Чебышева

Пусть имеется случайная величина Х с
математическим ожиданием a и
дисперсией D.
Каково бы не было положительное число ε,
вероятность того, что величина Х
отклоняется от своего математического
ожидания не меньше чем на ε ограничена
сверху числом D2
D
2
D
P X a 2

7. Теорема Чебышева

устанавливает связь между средним
арифметическим значений случайной
величины, полученных в ходе наблюдений и
ее математическим ожиданием.
Формулировка теоремы:
При достаточно большом числе независимых
опытов среднее арифметическое
наблюдавшихся значений случайной
величины сходится по вероятности к ее
математическому ожиданию.

8. Теорема Чебышева

Позволяет, используя среднее
арифметическое, получить
представление о величине
математического ожидания, и наоборот.
Теорема Чебышева дает большое
практическое применение

9. Теорема Чебышева

Пусть требуется измерить некоторую
физическую величину. В силу неизбежных при
измерении ошибок результат измерения будет
случайной величиной. Обозначим эту величину Х.
Ее математическое ожидание будет совпадать с
измеряемой величиной а,
а дисперсия равна некоторой величине D,
характеризующей точность измерительного
прибора.

10. Теорема Бернулли

Пусть производится n независимых опытов,
в каждом из которых с вероятностью р
может наступить некоторое событие А в n
опытах. Тогда какое бы сколь угодно малое
значение ни принимало положительное
число ε, вероятность события
mn
P
p
n
стремится к единице при
n

11. Центральная предельная теорема

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
это группа теорем определяющая
предельные законы распределения
Эту группу теорем иногда называют
«количественной формой закона
больших чисел»

12.

Если сложить большое число случайных
величин, имеющих один или различные
законы распределения; то случайная
величина, являющаяся результатом
суммы, при некоторых условиях, будет
иметь нормальный закон распределения.
Различные формы центральной
предельной теоремы отличаются между
собой условиями, накладываемыми на
сумму рассматриваемых случайных
величин.

13.

Одной из теорем, относящихся к
центральной предельной теореме,
является теорема Ляпунова
Распределение суммы n независимых
случайных величин приближается к
нормальному закону распределения при
неограниченном увеличении n, если
выполняются следующие условия:

14. теорема Ляпунова

Все величины имеют конечные
математические ожидания и дисперсии
Ни одна из величин по своему значению
резко не отличается от всех
остальных, то есть оказывает
ничтожное влияние на их сумму.