Матрицы и определители. (Тема 1)

1. Матрицы и определители

2. Основные сведения о матрицах

3. Понятие матрицы

Матрицей размера m×n называется
прямоугольная таблица чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Обозначение матриц: A, B, C, X, …
Числа, составляющие матрицу,
называются элементами матрицы.
Обозначение элементов: а
ij
где i – номер строки, j – номер столбца

4. Запись матриц

В общем виде
a11
a21
...
A
m n ai1
...
am1
a12
a22
...
ai 2
...
am 2
...
...
...
...
...
...
a1 j
a2 j
...
aij
...
am j
...
...
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
ain
...
am n
В сокращенной форме
A aij ,
i 1, m
j 1, n

5. Пример

2 0
1 3
A
2 4
4 1 3 5
a13 1,
1 a22

6. Виды матриц

Определение: Матрица любого размера
называется нулевой или нуль-матрицей,
если все ее элементы равны нулю.
Обозначение: О
Пример:
0 0 0 0
О
2 4
0 0 0 0

7. Виды матриц

Матрица, размерности:
1×n называется матрицей-строкой или
вектором-строкой B (b11 , b12 ,...b1n )
1 n
m×1 называется матрицей-столбцом
или вектором-столбцом
c11
c
С 12
m 1
...
c
m1

8. Виды матриц

Матрица размерности n×n называется
квадратной порядка n
d11 d12
d
d
21
22
Dn
... ...
d
n1 d n 2
... d1n
... d 2 n
... ...
... d nn
Пример
0 1 - квадратная матрица
А
2 0 второго порядка

9. Диагональ матрицы

Элементы матрицы, у которых номер
столбца равен номеру строки (i=j),
называются диагональными и
составляют главную диагональ
матрицы.
Сумма элементов главной диагонали
квадратной матрицы называется её
следом. Обозначается trA.

10. Виды квадратных матриц

Квадратная матрица, у которой все
недиагональные элементы равны нулю,
называется диагональной матрицей.
Пример:
- диагональная матрица
2 0
А
второго порядка
0 1

11. Виды квадратных матриц

Если у диагональной матрицы порядка n
все диагональные элементы равны 1,
матрица называется единичной
порядка n.
Обозначение En
Пример
1 0 0
- единичная матрица
Е3 0 1 0
третьего порядка
0 0 1

12. Виды матриц

Матрица
Нулевая
состоит только
из нулей
Матрицастрока
Размер 1×n
Матрицастолбец
Размер m×1
Квадратная
Размер n×n
Диагональная
Произвольная
Размер m×n
Единичная

13. Операции над матрицами

14. Операции над матрицами

Умножение матрицы на число
Сложение матриц
Вычитание матриц
Умножение матриц
Возведение в степень
Транспонирование матрицы

15. Умножение матрицы на число

Выполнимо для любых матриц и любых
чисел
Производится поэлементно
Правило: С A C (cij ), cij aij
m n
m n
Пример:
0 6
0
2
3 1 1 3 3
3 2 9 6

16. Сложение матриц

Выполнимо только для матриц
одинаковой размерности
Производится поэлементно
Правило: А B C C (cij ), сij aij b ij
m n m n
m n
Пример:
0 1 2
3 0 1 3
1 3 2
0 1 1 1 0 ( 1)
1 2
1
1
2 2 3 2 2 3 2 ( 2) 1 0

17. Вычитание матриц

Выполнимо только для матриц
одинаковой размерности
Производится поэлементно
А В А ( 1) В
Правило:
или mА n mB n mC n C (cij ), сij aij bij
Пример:
0 1 2
3 0 3 3
1 3 2
0 1 1 1 0 ( 1)
1 0
1
1
2 2 3 2 2 3 2 ( 2) 5 4

18. Умножение матриц

Выполнимо если число столбцов первого
множителя равно числу строк второго
Правило:
k
А B C C (cij ), сij ai b j ais bsj
m k k n
m n
Примеры:
1 0 2 0 0 2
0 1 1 1 1 3
s 1
(2 3) (2 3) _ не _ выполнимо
2 0 0 ( 1)
2 ( 2) 0 1 2 0 4
2 0 1 0 2 2 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1 ( 1) 0 1 0 ( 1) ( 1) 1 ( 2) ( 1) 1 1 1 3
(2 2) (2 3) выполнимо
(2 3)

19. Возведение в степень

Выполнимо для квадратных матриц
Правила:
A E,
0
A A,
1
A
A
A
...
A
p
p _ раз
Пример:
0 1 0 1 0 1
2 1 2 1 2 1
0 0 ( 1) 2 0 ( 1) ( 1) 1 2 1
2 ( 1) 1 1 2 1
2 0 1 2
2

20. Транспонирование

Выполнимо для любой матрицы
Обозначение: АТ или А'
Правило: поменять строки на столбцы с
сохранением порядка.
Пример:
2 0
1
2 3
3
1
0 1 3
1 3
Т

21. Определители квадратных матриц

22. Определитель матрицы

Любой квадратной матрице ставится в
соответствие по определенному закону
некоторое число, называемое
определителем или детерминантом.
Обозначение:
det A или |А| или ∆А или ∆n или ∆
Определитель матрицы – это число.
Определитель существует только для
квадратных матриц.

23. Определитель первого порядка

Определяется по формуле:
при А=(а11) ∆1=а11
Пример:
А=(-5) ∆1= ∆А = - 5

24. Определитель второго порядка

Определяется формулой:
a11 a12
2
a11 a22 a12 a21
a21 a22
Пример:
1 2
1 4 2 3 2
3 4

25. Определитель третьего порядка

Определяется формулой

26. Определитель третьего порядка

Знаки произведений определяются с
помощью правила треугольников или
правила Сарруса:

27. Определитель n-го порядка

Определителем матрицы А n-го
порядка называется алгебраическая
сумма n! произведений n-го порядка
элементов этой матрицы, причем в
каждое произведение входит по одному
элементу из каждой строки и каждого
столбца данной матрицы

28. Минор

Рассмотрим квадратную матрицу Аn
Минором М ij называется определитель
(n-1)-го порядка, полученный вычеркиваем
из матрицы А i-й строки и j-го столбца.
Пример:

29. Алгебраическое дополнение

Аij
Алгебраическим дополнением
называется минор М ij , взятый со знаком
i j
i j
( 1)
, т.е.
Aij ( 1) М ij
Пример
Матрица, составленная из алгебраических
дополнений элементов матрицы А,
называется присоединенной
матрицей и
~
обозначается А

30. Теорема Лапласа

Определитель равен сумме произведений
элементов любой строки (столбца) на их
алгебраические дополнения:
- разложение определителя по элементам
i-й строки
Используется для вычисления
определителей порядка выше третьего.

31. Теорема Лапласа (пример)

Вычислить
Решение:

32. Свойства определителей

При транспонировании ∆ не меняется.
При перестановке двух строк ∆ меняет знак.
∆=0 если:
содержит нулевую строку (столбец);
содержит две одинаковые строки;
содержит две пропорциональные строки.
Если все элементы строки умножить на число λ,
то ∆ увеличится в λ раз; общий множитель строки
можно вынести за знак ∆.
Если к элементам строки прибавить элементы
другой строки, умноженной на число ≠0, то ∆ не
меняется.

33. Свойства определителей

Определитель треугольной матрицы
равен произведению ее диагональных
элементов.
Определитель диагональной матрицы
равен произведению ее диагональных
элементов

34. Способы вычисления определителей

Перебором всевозможных
произведений (по определению);
Разложением по строке или столбцу (по
теореме Лапласа);
С использованием свойств
определителей;
Сочетание способов.

35. Обратная матрица

Обозначение: А-1–обратная для матрицы А
Определение: Матрицей А-1, обратной к
данной квадратной матрице А, называется
такая, что выполняется равенство:
А-1∙А = А∙ А-1 = Е.
3 5
2 5
Пример:
-обратна матрице
,
1 3
1 2
т.к.
3 5 2 5 2 5 3 5 1 0
1 2 1 3 1 3 1 2 0 1

36. Обратимость матрицы

Если определитель квадратной матрицы равен
нулю (∆А=0), матрица называется вырожденной.
Если определитель отличен от нуля (∆А≠0),
матрица называется невырожденной.
Критерий обратимости матрицы:
А имеет обратную ↔ А – невырожденная
Обратную матрицу можно найти по формуле:
1 ~Т
А
А
А
1

37. Алгоритм нахождения обратной матрицы

Вычислить ∆А. Если ∆А=0, то А-1 не
существует.
Если ∆А≠0, найти алгебраические
~
дополнения всех элементов. Составить А
~
Транспонировать матрицу А
1
~T
Выполнить умножение А на
A
Выполнить проверку равенства А-1∙А = Е.

38. Нахождение обратной матрицы (пример)

1 0
2 1
Найти матрицу, обратную к
Решение:
1. ∆А = -1∙1 - 2∙0 = -1 ≠0 → А-1 существует.
1 2
1 1
A12 ( 1) 2 2
2. A11 ( 1) 1 1
2 1
A21 ( 1) 0 0
~ 1 2
Итак, A
0
1
~Т 1
0
3. A
2
1
A22 ( 1)
2 2
( 1) 1

39. Нахождение обратной матрицы (пример)

4.
1 1
0 1 0
А
1 2 1 2 1
1
5. Проверка:
1 0 1 0 1 0
А А
2 1 2 1 0 1
1
Ответ:
1 0
А
2 1
1

40. Ранг матрицы

Определение: Рангом матрицы
называется наивысший порядок
отличных от нуля миноров этой
матрицы.
Обозначение: rang A или r(A).
Ранг матрицы показывает число ее
линейно независимых строк (столбцов).

41. Основные свойства ранга

Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее
размеров:
для Аm×n r(A) ≤ min {m, n};
Ранг матрицы равен нулю только для нулевой
матрицы:
r(A)=0 ↔ A=O;
Ранг квадратной матрицы равен ее порядку
только для невырожденной матрицы:
для Аn r(A)=n ↔ А – невырожденная;
Ранг матрицы не меняется при элементарных
преобразованиях над её строками
(столбцами).