Похожие презентации:
Матрицы и определители. Основные понятия и определения. Понятие матрицы
1. Матрицы и определители
2. Основные понятия и определения
3. Понятие матрицы
Матрицей размера m×n называетсяпрямоугольная
таблица
чисел,
содержащая m строк и n столбцов.
Обозначение матриц: A, B, C, …
Числа,
составляющие
матрицу,
называются элементами матрицы.
Обозначение элементов: а
ij
где i – номер строки, j – номер столбца
4. Запись матриц
В общем видеa11
a21
...
ai1
...
a
m1
a12
... a1 j
a22
... a2 j
...
...
...
ai 2
...
aij
...
...
...
am 2 ... amj
... a1n
... a2 n
... ...
Am n
... ain
... ...
... amn
В сокращенной форме
A aij ,
i 1, m
j 1, n
5. Пример
А2 41 3
2 0
4 1 3 5
a13 1,
a22 1
6. Виды матриц
Определение: Матрица любого размераназывается нулевой или нуль-матрицей,
если все ее элементы равны нулю.
Обозначение: О
Пример:
0 0 0 0
0 0 0 0
7. Виды матриц
Матрица, размерности:1×n называется матрицей-строкой или
вектором-строкой В (b , b ,...b )
11
12
1n
m×1 называется матрицей-столбцом
c11
или вектором-столбцом
c12
С
...
c
m1
8. Виды матриц
Матрица размерности n×n называетсяквадратной порядка n
d11 d12
d
d
21
22
Dn
... ...
d
n1 d n 2
... d1n
... d 2 n
... ...
... d nn
Пример
0 1 - квадратная матрица
А
2 0 второго порядка
9. Диагональ матрицы
Элементы матрицы, у которых номерстолбца равен номеру строки (i=j),
называются
диагональными
и
составляют
главную
диагональ
матрицы.
Сумма элементов главной диагонали
квадратной матрицы называется её
следом. Обозначается trA.
10. Виды квадратных матриц
Квадратная матрица, у которой всенедиагональные элементы равны нулю,
называется диагональной матрицей.
Пример:
- диагональная матрица
2 0
А
второго порядка
0 1
11. Виды квадратных матриц
Если у диагональной матрицы порядка nвсе диагональные элементы равны 1,
матрица называется единичной
порядка n.
Обозначение En
Пример
1 0 0
- единичная матрица
Е3 0 1 0
третьего порядка
0 0 1
12. Виды матриц
МатрицаНулевая
состоит только
из нулей
Матрицастрока
Размер 1×n
Матрицастолбец
Размер m×1
Квадратная
Размер n×n
Диагональная
Произвольная
Размер m×n
Единичная
13. Операции над матрицами
14. Операции над матрицами
Умножение матрицы на числоСложение матриц
Вычитание матриц
Умножение матриц
Возведение в степень
Транспонирование матрицы
15. Умножение матрицы на число
Выполнимо для любых матриц и любыхчисел
Производится поэлементно
Правило:Сm n Am n C (cij ), cij aij
Пример:
0 6
0
2
3 1 1 3 3
3 2 9 6
16. Сложение матриц
Выполнимо только для матрицодинаковой размерности
Производится поэлементно
Правило: Am n Bm n Cm n C (cij ), сij aij b ij
Пример:
0 1 2
3 0 1 3
1 3 2
0 1 1 1 0 ( 1)
1 2
1
1
2 2 3 2 2 3 2 ( 2) 1 0
17. Вычитание матриц
Выполнимо только для матрицодинаковой размерности
Производится поэлементно
А В А ( 1) В
Правило:
или Am n Bm n Cm n C (cij ), сij aij bij
Пример:
0 1 2
3 0 3 3
1 3 2
0 1 1 1 0 ( 1)
1 0
1
1
2 2 3 2 2 3 2 ( 2) 5 4
18. Умножение матриц
Выполнимо если число столбцов первогомножителя равно числу строк второго
Правило:
k
Am k Bk n Cm n C (cij ), сij ai b j ais bsj
Примеры:
1 0 2 0 0 2
0 1 1 1 1 3
s 1
(2 3) (2 3) _ не _ выполнимо
2 0 0 ( 1)
2 ( 2) 0 1 2 0 4
2 0 1 0 2 2 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1 ( 1) 0 1 0 ( 1) ( 1) 1 ( 2) ( 1) 1 1 1 3
(2 2) (2 3) выполнимо
(2 3)
19. Возведение в степень
Выполнимо для квадратных матрицПравила:
A E,
0
A A,
1
A
A
A
...
A
p
p _ раз
Пример:
0 1 0 1 0 1
2 1 2 1 2 1
0 0 ( 1) 2 0 ( 1) ( 1) 1 2 1
2 ( 1) 1 1 2 1
2 0 1 2
2
20. Транспонирование
Выполнимо для любой матрицыОбозначение: АТ или А'
Правило: поменять строки на столбцы с
сохранением порядка.
Пример:
2 0
1
2 3
3
1
0 1 3
1 3
Т
21. Определители квадратных матриц
22. Определитель матрицы
Любой квадратной матрице ставится всоответствие по определенному закону
некоторое
число,
называемое
определителем или детерминантом.
Обозначение:
det A или |А| или ∆А или ∆n или ∆
Определитель матрицы – это число.
Определитель
существует
только
квадратных матриц.
для
23. Определитель второго порядка
Определяется формулой:a11 a12
2
a11 a22 a12 a21
a21 a22
Пример:
1 2
1 4 2 3 2
3 4
24. Определитель третьего порядка
Определяется формулой25. Определитель третьего порядка
Знаки произведений определяются спомощью правила треугольников или
правила Саррюса:
26. Определитель n-го порядка
Определителем матрицы А n-гопорядка называется алгебраическая
сумма n! произведений n-го порядка
элементов этой матрицы, причем в
каждое произведение входит по одному
элементу из каждой строки и каждого
столбца данной матрицы
27. Минор
Рассмотрим квадратную матрицу АnМинором М ij называется определитель
(n-1)-го порядка, полученный вычеркиваем
из матрицы А i-й строки и j-го столбца.
Пример:
28. Алгебраическое дополнение
АijАлгебраическим дополнением
называется минор М ij , взятый со знаком
i j
( 1)
, т.е. A ( 1) i j М
ij
ij
Пример
Матрица, составленная из алгебраических
дополнений элементов матрицы А,
называется присоединенной
матрицей и
~
обозначается А
29. Теорема Лапласа
Определитель равен сумме произведенийэлементов любой строки (столбца) на их
алгебраические дополнения:
- разложение определителя по
элементам i-й строки
Используется
для
вычисления
определителей порядка выше третьего.
30. Теорема Лапласа (пример)
ВычислитьРешение:
31. Свойства определителей
При транспонировании ∆ не меняется.При перестановке двух строк ∆ меняет знак.
∆=0 если:
содержит нулевую строку (столбец);
содержит две одинаковые строки;
содержит две пропорциональные строки.
Если все элементы строки умножить на число λ,
то ∆ увеличится в λ раз; общий множитель
строки можно вынести за знак ∆.
Если к элементам строки прибавить элементы
другой строки, умноженной на число ≠0, то ∆ не
меняется.
32. Свойства определителей
Определитель треугольной матрицыравен произведению ее диагональных
элементов.
Определитель диагональной матрицы
равен произведению ее диагональных
элементов
33. Способы вычисления определителей
Перебором всевозможныхпроизведений (по определению);
Разложением по строке или столбцу (по
теореме Лапласа);
С использованием свойств
определителей;
Сочетание способов.
34. Обратная матрица
Обозначение: А-1–обратная для матрицы АОпределение: Матрицей А-1, обратной к
данной квадратной матрице А, называется
такая, что выполняется равенство:
А-1∙А = А∙ А-1 = Е.
3 5
2 5
Пример:
-обратна матрице
,
1 3
1 2
т.к.
3 5 2 5 2 5 3 5 1 0
1 2 1 3 1 3 1 2 0 1
35. Обратимость матрицы
Если определитель квадратной матрицы равеннулю (∆А=0), матрица называется вырожденной.
Если определитель отличен от нуля (∆А≠0),
матрица называется невырожденной.
Критерий обратимости матрицы:
А имеет обратную ↔ А – невырожденная
Обратную матрицу можно найти по формуле:
1 ~Т
А
А
А
1
36. Алгоритм нахождения обратной матрицы
Вычислить ∆А. Если ∆А=0, то А-1 несуществует.
Если ∆А≠0, найти алгебраические
~
дополнения всех элементов. Составить А
~
Транспонировать матрицу А
1
~T
Выполнить умножение А на
A
Выполнить проверку равенства А-1∙А = Е.
37. Нахождение обратной матрицы (пример)
1 0Найти матрицу, обратную к
2 1
Решение:
1. ∆А = -1∙1 - 2∙0 = -1 ≠0 → А-1 существует.
1 2
1 1
A12 ( 1) 2 2
2. A11 ( 1) 1 1
2 1
A21 ( 1) 0 0
~ 1 2
Итак, A
0
1
~Т 1
0
3. A
2
1
A22 ( 1)
2 2
( 1) 1
38. Нахождение обратной матрицы (пример)
4.1 1
0 1 0
А
1 2 1 2 1
1
5. Проверка:
1 0 1 0 1 0
А А
2 1 2 1 0 1
1
Ответ:
1 0
А
2 1
1
39. Ранг матрицы
Определение: Рангом матрицыназывается наивысший порядок
отличных от нуля миноров этой
матрицы.
Обозначение: rang A или r(A).
Ранг матрицы показывает число ее
линейно независимых строк (столбцов).
40. Основные свойства ранга
Ранг матрицы не превосходит меньшего из ееразмеров:
для Аm×n r(A) ≤ min {m, n};
Ранг матрицы равен нулю только для нулевой
матрицы:
r(A)=0 ↔ A=O;
Ранг квадратной матрицы равен ее порядку
только для невырожденной матрицы:
для Аn r(A)=n ↔ А – невырожденная;
Ранг матрицы не меняется при элементарных
преобразованиях над её строками
(столбцами).