Обратимые матрицы

1.

Выполнил:
студент ФТ23ДР62ПФ(103)
физ.-мат. факультета
Павловский Иван Русланович
.
Тирасполь, 2024

2.

Содержание
Введение
§1 Элементарные матрицы
§2 Обратная матрица
§3 Условие обратимости матрицы
§4
Нахождение матрицы обратной данной
Заключение

3.

Обратимые матрицы занимают ключевое место в линейной алгебре и имеют множество
приложений в различных областях математики и науки.
Матрицы используются в самых разных областях, включая физику, экономику, инженерные
науки и компьютерные технологии. В особенности, обратимые матрицы имеют
фундаментальное значение для решения систем линейных уравнений, анализа и
моделирования различных процессов.
Целью данной курсовой работы является изучение понятий, связанных с обратимыми
матрицами, исследование условий их существования и методов нахождения обратных
матриц.
Для достижения этой цели поставлены следующие задачи:
- Ввести понятие элементарных матриц и рассмотреть их свойства.
- Определить и изучить обратные матрицы, их характеристики и свойства.
- Изучить условия, при которых матрица является обратимой.
- Рассмотреть методы нахождения обратных матриц
В работе представлена теоретическая часть, где подробно рассмотрены основные понятия и
результаты, а также практическая часть, включающая решения конкретных задач по теме
обратимых матриц

4.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие
преобразования:
1) транспозиция двух строк (столбцов) матрицы;
2) умножение строки (столбца) матрицы на число отличное, отличное от нуля;
3) прибавление к строке (столбцу) матрицы другой строки (другого столбца)
умноженной (умноженного) на некоторое число.
Определение. Элементарной матрицей n-го порядка называется матрица, полученная
из единичной матрицы n-го порядка с помощью некоторого элементарного
преобразования.
Теорема 1. Всякое элементарное преобразование данной матрицы равносильно
умножению этой матрицы на некоторую элементарную матрицу. При этом
элементарное преобразование строк данной матрицы равносильное умножению на
элементарную матрицу слева, а элементарное преобразование столбцов –
умножению на элементарную матрицу справа.

5.

Определение. Матрицей, обратной матрице , называется матрица, обозначаемая и
обладающая свойством:
(1) где E – единичная матрица
соответствующего порядка. Матрица, для которой существует обратная ей матрица,
называется обратимой.
Определение. Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если ее ранг
меньше ее порядка.
Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если ее ранг равен ее
порядку.
Следствие. При элементарных преобразованиях вырожденная матрица переходит в
вырожденную матрицу, а невырожденная в невырожденную.
(Элементарные преобразования не изменяют ни ранг, ни порядок матрицы.)
Предложение 1. Если для матрицы A существует обратная, то она единственная.

6.

Теорема 3. Любая невырожденная матрица обратима.
Доказательство. Пусть A невырожденная матрица. Докажем, что существует обратная ей
матрица
.
По теореме 2, матрица A может быть преобразована в единичную матрицу E в результате
последовательности элементарных преобразований строк. Но в силу теоремы 1,каждое
элементарное преобразование строк матрицы соответствует умножению этой матрицы
слева на некоторую элементарную матрицу.
Пусть цепочке элементарных преобразований, переводящих A в E, соответствует
последовательность элементарных матриц:. Тогда (4).
Обозначим
(4')и перепишем (4) в виде:
Этим показано, что для любой невырожденной матрицы A существует «левая обратная»
матрица, удовлетворяющая соотношению (5).
Матрица – - невырождена, т.к. получена из единичной матрицы при помощи элементарных
преобразований.
Умножая обе части равенства (5) справа на , получим:
(6)
Для матрицы , по доказанному выше, существует «левая обратная» матрица C, такая, что .
Умножая обе части (6) слева на матрицу , получим:
Таким образом, , т.е. .
Следствие. Всякая элементарная матрица обратима.

7.

8.

В ходе данной курсовой работы была рассмотрена важная область линейной алгебры — обратимые
матрицы. Исследование включало анализ элементарных матриц, изучение понятий и свойств
обратных матриц, а также условий их существования и методов нахождения.
Элементарные матрицы оказались ключевым инструментом для понимания операций над
матрицами и их преобразований. Эти матрицы позволили нам глубже понять, как элементарные
операции могут использоваться для нахождения обратной матрицы и решения систем линейных
уравнений.
Результаты курсовой работы подтверждают важность теории матриц и её приложений. Изучение
обратимых матриц не только углубляет наши знания в области линейной алгебры, но и открывает
возможности для применения этих знаний в реальных задачах, таких как анализ и моделирование
сложных систем, решение уравнений в физике и инженерии, а также обработка данных в экономике
и компьютерных науках.
В заключение можно сказать, что цели курсовой работы были достигнуты: основные понятия и
свойства обратимых матриц изучены, условия их существования проанализированы, а метод
нахождения обратных матриц рассмотрен и применен на практике. Это исследование создает
прочную основу для дальнейшего изучения линейной алгебры и её многочисленных приложений в
различных областях знаний