Матрицы. Свойства операций над матрицами. Теорема о ранге матрицы

1. Матрицы

2.

Матрицей называется прямоугольная
таблица чисел .
Если матрица содержит
m
строк и
n
столбцов, то говорят, что матрица имеет
размерность
m
m n
.
- порядок матрицы

3.

a11 a12 a13
a21 a22 a23
... ... ...
am1 am 2 am 3
a1n
... a2 n
... ...
... amn
...

4.

• Обозначение матриц
А aij m n

5.

Матрица размера m m называется
квадратной.
Матрица , имеющая только одну строку
называется матрицей-строкой.
Матрица, имеющая только один
столбец называется
матрицей-столбцом .

6.

Две матрицы считаются равными,
если равны их размеры и равны
элементы, стоящие на одинаковых
местах.
Квадратная матрица называется
невырожденной (неособенной), если
её определитель отличен от нуля, и
вырожденной (особенной) , если
определитель её равен нулю.

7.

Квадратная матрица вида
1
0
...
0
0
1
...
...
...
0
...
...
наз. единичной
0
0
...
1
и обозначается Е

8.

• Матрица, все элементы которой
равны нулю, наз. нулевой.
• Определитель, составленный из
элементов квадратной матрицы,
наз. определителем матрицы.
Очевидно
Е 1

9.

• Матрица
a11
T
A a12
a
13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
наз. транспонированной по отношению к
матрице
a11 a12
A a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33

10. Действия над матрицами.

Суммой двух матриц одинаковой
размерности А и В называется
матрица С той же размерности,
элементы которой равны суммам
элементов матриц A и B с
одинаковыми индексами.

11.

Произведением матрицы
на
число называется матрица ,
получающаяся из матрицы A
умножением всех её элементов
на .

12.

Разностью двух
матриц А и В
одинаковой
размерности
называется матрица С=A+(-B).

13.

Произведением матрицы A (aij )
размера m n на матрицу B (bij )
размера n k
называется матрица C (cij )
размера
m k , элемент cij которой , стоящий в
i-ой строке и j-ом столбце, равен
сумме произведений элементов i-ой
строки матрицы A и соответствующих
элементов j-го столбца матрицы B.

14. Свойства операций над матрицами

15.

1.A+B=B+A
2.(A+B)+C=A+(B+C)
3.k(A+B)=kA+kВ
4. АВ≠ВА

16.

5. (AB)C=A(BC)
6. A(B+C)=AB+AC
7. A+O=A
8. AE=EA=A

17.

• Если A и B две квадратные
матрицы одного порядка, то
A B A B

18.

Обратная матрица

19.

A
Пусть
- квадратная матрица.
Обратной для неё матрицей наз.
квадратная матрица того же порядка,
1
обозначаемая A
и
удовлетворяющая условию
A A A A E
1
1

20.

• Для того, чтобы квадратная
матрица A имела обратную
матрицу, необходимо и достаточно,
чтобы матрица A была
невырожденной.

21.

А11 А21 А31
А11 А21 А31
А
А
А
1
1
12
22
32
А
А12 А22 А32
А13 А23 А33
А13 А23 А33

22. Р а н г м а т р и ц ы

Ранг
матрицы
Рангом матрицы называется наивысший
из порядков отличных от нуля миноров
матрицы.
Ранг матрицы A обозначается:
r A
или
rang A .

23. Теорема о ранге матрицы

Ранг матрицы равен
максимальному числу линейно –
независимых строк матрицы.

24. Элементарные преобразования матрицы.

cij
Элементарные
преобразования матрицы.
1.Умножение всех элементов строк
на одно и то же число не равное 0.
2. Перестановка строк местами.
3. Прибавление к элементам одной
строки соответствующих
элементов другой строки,
умноженных на одно и тоже число.

25.

4.Отбрасывание
одной из
одинаковых строк.
двух
5.Отбрасывание нулевой строки

26.

Теорема: Элементарные
преобразования не меняют ранг
матрицы.
Матрицы, полученные с помощью
элементарных преобразований
наз. эквивалентными (~).

27.

2 1 3 5
A 1 3 1 2
1 10 6 1

28.

(-1)
(-2)
1
3
1
2
+
+
2 1 3 5
1 10 6 1

29.

1 3 1 2
1
0 7 5
0 7 5 1
+

30.

1 3 1 2
0 7 5 1
0 0
0 0
r ( A) 2

31.

2 3 5 3 2 3 5
+
A 3 4 3 1 3 (-2)
5 6 1 4 4 (-2)

32.

2 3 5 3 2
(-3)
0
1
9
7
0
+
0 3 27 23 2

33.

2 3 5 3 2
0 1 9 7 0
0 0 0 2 2
r ( A) 3