Параллелепипед. Задачи на построение сечений

1. Параллелепипед. Задачи на построение сечений.

2.

Цель работы:
Развитие пространственных представлений.
Задачи:
1. Познакомить с правилами построения сечений.
2. Выработать навыки построения сечений
тетраэдра и параллелепипеда при различных
случаях задания секущей плоскости.
3. Сформировать умение применять правила
построения сечений при решении задач по
темам «Многогранники».

3.

Четырёхугольники АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1C1,
DAA1D1 также являются параллелограммами, т.к.
каждый из них имеет попарно параллельные
противоположные стороны (в четырёхугольнике
АВВ1А1 стороны АА1 и ВВ1 параллельны по
условию, а стороны АВ и А1В1 - по свойству линий
пересечения двух параллельных плоскостей
третьей.
Содержание
Далее

4.

Поверхность, составленная из двух равных
параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и
четырёх параллелограммов, называется
параллелепипедом и обозначается
так: ABCDA1B1C1D1.
Параллелограммы, из которых составлен
параллелепипед, называются гранями, их
стороны - рёбрами, а вершины
параллелограммов - вершинами
параллелепипеда.
Далее
Содержание

5.

Параллелепипед имеет шесть граней,
двенадцать рёбер и восемь вершин.
Две грани параллелепипеда, имеющие
общее ребро, называются смежными,
а не имеющие общих рёбер противоположными.

6.

На рисунке противоположными являются
грани ABCD и A1B1C1D1, ABB1A1 и DCC1D1,
ADD1A1 и BCC1B1. Две вершины, не
принадлежащие одной грани, называются
противоположными.

7.

Отрезок, соединяющий противоположные
вершины, называется диагональю
параллелепипеда.
Каждый параллелепипед имеет четыре
диагонали. На рисунке диагоналями
являются отрезки AC1, BD1, CA1 и DB1.

8.

Часто выделяют какие-нибудь две
противоположные грани и называют их
основаниями, а остальные грани боковыми гранями параллелепипеда.
Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие
основаниям, называются боковыми
рёбрами. Если выбрать грани ABCD и A1B1C1D1,
то боковыми гранями будут параллелограммы, а
боковыми рёбрами - отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1.

9.

1.Противоположные
грани
параллелепипеда
параллельны и
равны.

10.

2.Диагонали параллелепипеда
пересекаются в одной точке и делятся
этой точкой пополам.

11.

Для решения многих
геометрических
задач необходимо
строить сечения
многогранников
различными
плоскостями.

12. Понятие секущей плоскости

Секущей
плоскостью
параллелепипеда
(тетраэдра)
называется любая
плоскость, по обе
стороны от
которой имеются
точки данного
параллелепипеда
(тетраэдра).

13. Понятие сечения многогранника

Секущая плоскость
пересекает грани
тетраэдра
(параллелепипеда) по
отрезкам.
Многоугольник,
сторонами которого
являются данные
отрезки, называется
сечением тетраэдра
(параллелепипеда).

14.

Для построения сечения
нужно построить точки
пересечения секущей
плоскости с ребрами и
соединить их
отрезками.

15. Правила построения сечений

1. Соединять можно только две точки,
лежащие в плоскости одной грани.
2. Секущая плоскость пересекает
параллельные грани по параллельным
отрезкам.

16. Правила построения сечений

3. Если в плоскости грани отмечена
только одна точка, принадлежащая
плоскости сечения, то надо
построить дополнительную точку.
Для этого необходимо найти точки
пересечения уже построенных
прямых с другими прямыми,
лежащими в тех же гранях.

17. Тетраэдр

18. Тетраэдр - простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Тетраэдр
У тетраэдра 4 грани,
4 вершины и 6 рёбер.
Тетраэдр, у которого
все грани —
равносторонние
треугольники,
называется
правильным.
Тетра́ эдр (др.греч.τετρά-εδρον —
четырёхгранник

19.

тетраэдр
огонь

20.

Тетраэдр имеет 4 грани
В сечениях могут получиться
Треугольники
Четырехугольник
и

21. Куб (параллелепипед)

22.

Куб
(параллелепипед)
Куб - правильный
многогранник, каждая грань
которого представляет
собой квадрат.
Общее число граней – 6;
Общее число вершин – 8;
Общее число рёбер – 12;
Куб (др.-греч. κύβος)
или правильный
гексаэдр («правильный
шестигранник»)

23.

куб
земля

24.

Параллелепипед имеет 6 граней
Треугольники
Пятиугольники
В его сечениях могут получиться
Четырехугольники
Шестиугольники

25.

МЕТОД СЛЕДОВ
Суть метода: построение вспомогательной прямой, являющейся
линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани
фигуры.
Эту линию называют
следом секущей плоскости.

26. Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

27.

Построить сечение тетраэдра
DABC плоскостью, проходящей
через точки M,N,K
1. Проведем прямую через
точки М и К( т.к. они лежат
в одной грани (АDC)).
D
M
AA
N
K
BB
2. Проведем прямую через
точки К и N( т.к. они
лежат в одной грани
(СDB)).
3. Аналогично MN.
CC
4. Треугольник MNK –
искомое сечение.

28.

Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K.
1. Проводим КF.
2. Проводим FE.
3. Продолжим
EF, продолжим AC.
D
F
4. EF AC =М
5. Проводим
MK.
E
M
C 6. MK AB=L
A
7. Проводим EL
L
EFKL – искомое сечение
K
B

29.

Построить сечение параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точки
M,A,D
В1
D1
E
A1
С1
В
А
1. AD
2. MD
3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A1B1C1)
4. AE
5. AEMD – искомое сечение
М
D
С

30. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, К, Т

N
М
К
R
S
Х
Т

31.

D
L
K
M
A
C
B

32.

D
M
A
C
B

33.

D
K
N
X
A
C
M
L
B

34.

D
K
N
A
C
M
L
B

35.

D1
L
C1
K
A1
B1
D
A
M
C
B

36.

D1
C1
N
A1
R
B1
P
D
C
M
A
B

37.

x2
N
B1
C1
K
x1
A1
D1
T
M
C
B
P
A
L
D
x3

38.

N
B1
C1
K
A1
D1
T
M
C
B
P
A
L
D

39.

M
M
P
N
P
M
N
N
P
N
M
N
M
P
P
N
P
M

40.

Решения варианта 1.
M
M
P
N
P
M
N
N
P
Решения варианта 2.
N
M
N
M
P
P
N
P
M

41.

Если вы хотите научиться плавать, то
смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи, то решайте
их
(Д. Пойа)

42.

Домашняя работа
П.13,14 №76,104.