20240211_metodicheskaya_razrabotka_obobshchayushchego_uroka_po_teme_primenenie_proizvodnoy_k_issledovaniyu_funktsiy

1.

Работа по графику
производной
Презентация создана учителем математики АЛВС «Динамо СанктПетербург»
Конторовой Е.В.
Использованы задания открытого банка заданий ЕГЭ по математике

2.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (-10;9).
• а) Найдите промежутки возрастания функции.
у
8
У=f ̀̀̓̓̓̓ (x)
В ответе укажите сумму целых точек,
входящих в эти промежутки.
6
4
Если f x 0 в каждой точке интервала a; b ,
2
х
-10
-5
5
-2
-4
-6
10
то функция f возрастает на интервале a; b
15

3.

На рисунке изображен график производной функции , опредепромежутки возрастания функции.
• а) Найдите
ленной на интервале
(-10;9).
8
У=f ̀̀̓̓̓̓ (x)
6
В ответе укажите сумму целых точек,
входящих в эти промежутки.
у
4
На интервалах возрастания функции
производная неотрицательна :
2
+
-10
+
+
-5
5
-2
10;8 , 6; 2 , 2;6
х
10
15
Сумма целых точек, входящих в эти промежутки:
-9+(-8)+ (-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+2+3+4+5+6 = -17
-4
-6
Ответ: -17

4.

На рисунке изображен график производной функции , опредепромежутки возрастания функции.
• б) Найдите
ленной на интервале
(-10;9).
8
У=f ̀̀̓̓̓̓ (x)
6
В ответе укажите длину наибольшего из них.
у
Мы уже определили промежутки возрастания:
4
10;8 , 6; 2 , 2;6
2
х
-10
-5
5
10
Легко видеть по рисунку, что длина наибольшего из
них – это длина второго и третьего промежутков.
15
-2
-4
-6
Ответ: 4

5.

На рисунке изображен график производной функции , опредеабсцисс отмечены 6 точек.
• в) На оси
ленной на интервале
(-10;9).
8
У=f ̀̀̓̓̓̓ (x)
6
В скольких из этих точек функция возрастает?
у
Мы уже определили промежутки возрастания:
4
10;8 , 6; 2 , 2;6
2
х
-10
х1
-5
х2
х4
х3
х5
5
х6
10
Легко видеть по рисунку, что только четыре
точки принадлежат этим промежуткам.
15
-2
-4
-6
Ответ: 4

6.

На рисунке изображен график производной функции , опредепромежутки убывания функции.
• г) Найдите
ленной на интервале
(-10;9).
8
У=f ̀̀̓̓̓̓ (x)
6
В ответе укажите сумму целых точек,
входящих в эти промежутки.
у
Промежутки убывания:
4
8;6 , 2;2 , 6;9
2
х
-10
-5
5
-2
10
15
Сумма целых точек, входящих в эти промежутки:
-8 + (-7)+ (-6)+(-2)+(-1)+0+1+2+6+7+8 = 0
-4
-6
Ответ: 0

7.

На рисунке изображен график производной функции , опредеколичество точек максимума
• д) Найдите
ленной на интервале
(-10;9).
8
У=f ̀̀̓̓̓̓ (x)
6
функции на отрезке
у
Внутренние точки области определения функции, в
которых производная равна нулю или производная
не существует, называются критическими.
4
2
+
+
-
-10
х
+
- -
-5
-
5
max
10
Если при переходе через критическую точку х0
функции f(x) ее производная меняет знак с «+» на «-», то
х0 – точка максимума функции f(x).
15
Знак производной меняется с «+» на «-» в точках -8, -2, 6.
-2
max
max
-4
Но точка -8 не принадлежит указанному отрезку, значит
функция имеет две точки максимума -2 и 6.
-6
min
7; 8
min
Ответ: 2

8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале
• е) (-10;9).
Найдите количество точек минимума функции на
8
У=f ̀̀̓̓̓̓ (x)
6
отрезке
у
4
2
х
-10
-5
5
-2
-4
-6
10
15
Ответ: 2
.
8; 9

9.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале
• ж) (-10;9).
Найдите количество точек экстремума функции
8
У=f ̀̀̓̓̓̓ (x)
6
на отрезке
у
Точки максимума и минимума называются
точками экстремума.
4
2
х
-10
-5
5
-2
-4
-6
7; 9
10
15
Ответ: 4

10.

На рисунке изображен график производной функции , определенВ какой точке отрезка
f(x) прини 3функция
; 5
ной на интервале
• з) (-10;9).
8
У=f ̀̀̓̓̓̓ (x)
6
мает наименьшее значение?
у
4
2
+
-10
-5
3
х
5
5
10
На данном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Таким
образом наименьшее значение функции достигается на
левой границе отрезка, т. е. в точке 3.
15
-2
Наиб.
-4
Наим.
-6
Ответ: 3

11.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на
интервале (-10;9).
• и) Найдите количество точек, в которых касательная
8
У=f ̀̀̓̓̓̓ (x)
6
к графику функции параллельна прямой у= 2х+3
или совпадает с ней.
у
4
У=
2
2
х
-10
-5
5
-2
-4
10
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = 2x+3 или совпадает
с ней, её угловой коэффициент равен 2. Найдем количество точек, в которых
y'(x0) = k = 2
(т.е. точек пересечения прямой у=2 и графика производной
функции на интервале (-10;9)).
15
-6
Ответ: 5